У Кати в кармане две монеты по 10 рублей, две монеты по 5 рублей и две монеты по 2 рубля. Она хочет купить в киоске мороженое ценой 20 рублей. Катя не глядя достаёт из кармана три случайные монеты. Найдите вероятность того, что суммы, которую стала Катя, хватит на мороженое.

Для решения задачи о вероятности того, что сумма трёх случайных монет, которые достала Катя, будет равна или больше 20 рублей, давайте начнем с анализа имеющихся монет и возможных комбинаций. #### Шаг 1: Анализ имеющихся монет У Кати в кармане следующие монеты: - 2 монеты по 10 рублей - 2 монеты по 5 рублей - 2 монеты по 2 рубля Всего у Кати 6 монет. #### Шаг 2: Определим все возможные комбинации Катя достаёт 3 монеты. Мы можем использовать формулу сочетаний, чтобы определить общее количество способов выбрать 3 монеты из 6: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) - общее количество элементов, \( k \) - количество выбираемых элементов. Для нашей задачи: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Общее количество способов выбрать 3 монеты составляет 20. #### Шаг 3: Изучим все возможные комбинации и их суммы Теперь мы должны определить, какие из этих комбинаций дают сумму 20 и более. Переберем возможные комбинации: 1. **Три монеты по 10 рублей:** - Сумма: 30 рублей (не может быть, так как у Кати только 2 монеты по 10). 2. **Две монеты по 10 рублей + одна монета по 5 рублей:** - Сумма: 25 рублей. 3. **Две монеты по 10 рублей + одна монета по 2 рубля:** - Сумма: 22 рубля. 4. **Одна монета по 10 рублей + две монеты по 5 рублей:** - Сумма: 20 рублей. 5. **Одна монета по 10 рублей + одна монета по 5 рублей + одна монета по 2 рубля:** - Сумма: 17 рублей (недостаточно). 6. **Одна монета по 10 рублей + две монеты по 2 рубля:** - Сумма: 14 рублей (недостаточно). 7. **Три монеты по 5 рублей:** - Сумма: 15 рублей (недостаточно). 8. **Две монеты по 5 рублей + одна монета по 2 рубля:** - Сумма: 12 рублей (недостаточно). 9. **Одна монета по 5 рублей + две монеты по 2 рубля:** - Сумма: 9 рублей (недостаточно). 10. **Три монеты по 2 рубля:** - Сумма: 6 рублей (недостаточно). #### Шаг 4: Подсчет подходящих комбинаций Суммы 20 рублей и больше получаются только из следующих вариантов: 1. Две монеты по 10 рублей и одна монета по 5 рублей. 2. Две монеты по 10 рублей и одна монета по 2 рубля. 3. Одна монета по 10 рублей и две монеты по 5 рублей. Теперь определим, сколько способов мы можем достать эти комбинации: 1. **2 монеты по 10 и 1 по 5:** Способы: \( C(2, 2) \cdot C(2, 1) = 1 \cdot 2 = 2 \) (выбираем обе 10 и одну 5). 2. **2 монеты по 10 и 1 по 2:** Способы: \( C(2, 2) \cdot C(2, 1) = 1 \cdot 2 = 2 \) (выбираем обе 10 и одну 2). 3. **1 монета по 10 и 2 по 5:** Способы: \( C(2, 1) \cdot C(2, 2) = 2 \cdot 1 = 2 \) (одна 10 и обе 5). Итак, общее количество благоприятных исходов: \[ 2 + 2 + 2 = 6 \] #### Шаг 5: Расчет вероятности Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что сумма будет 20 рублей или больше: \[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \] ### Ответ Вероятность того, что суммы, которую стала Катя, хватит на мороженое, равна \( \frac{3}{10} \) или 0.3 (30%).