2y+1/y+3+y+3/y-3=5

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Дано уравнение: \[ \frac{2y + 1}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5 \]

Шаг 1: Упрощение уравнения

Для удобства работы с дробями, начнем с того, чтобы привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \(\frac{2y + 1}{y + 3}\) и \(\frac{y + 3}{y - 3}\) будет равен \((y + 3)(y - 3)\).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Перепишем обе дроби с новым знаменателем:

1. Первая дробь: \[ \frac{2y + 1}{y + 3} = \frac{(2y + 1)(y - 3)}{(y + 3)(y - 3)} \]

2. Вторая дробь: \[ \frac{y + 3}{y - 3} = \frac{(y + 3)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{(y + 3)^2}{(y - 3)(y + 3)} \]

Теперь наше уравнение выглядит так: \[ \frac{(2y + 1)(y - 3) + (y + 3)^2}{(y + 3)(y - 3)} = 5 \]

Шаг 3: Умножение обеих сторон на общий знаменатель

Умножим обе стороны уравнения на \((y + 3)(y - 3)\), чтобы избавиться от дробей (при условии, что \(y \neq -3\) и \(y \neq 3\)): \[ (2y + 1)(y - 3) + (y + 3)^2 = 5(y + 3)(y - 3) \]

Шаг 4: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки с обеих сторон:

1. Левая часть: \[ (2y + 1)(y - 3) = 2y^2 - 6y + y - 3 = 2y^2 - 5y - 3 \] \[ (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 \] Тогда левая часть: \[ 2y^2 - 5y - 3 + y^2 + 6y + 9 = 3y^2 + y + 6 \]

2. Правая часть: \[ 5(y + 3)(y - 3) = 5(y^2 - 9) = 5y^2 - 45 \]

Шаг 5: Составление нового уравнения

Теперь составим новое уравнение, приравняв обе стороны: \[ 3y^2 + y + 6 = 5y^2 - 45 \]

Шаг 6: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3y^2 + y + 6 - 5y^2 + 45 = 0 \] \[ -2y^2 + y + 51 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить: \[ 2y^2 - y - 51 = 0 \]

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения \(2y^2 - y - 51 = 0\) используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-51) = 1 + 408 = 409 \] Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.

Шаг 8: Вычисление корней

Корни уравнения находятся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{409}}{4} \]

Шаг 9: Приблизительные значения

Теперь вычислим корни более подробно:

• Приблизительно \( \sqrt{409} \approx 20.224\)

Поэтому корни:

1. \(y_1 = \frac{1 + 20.224}{4} \approx \frac{21.224}{4} \approx 5.306\)
2. \(y_2 = \frac{1 - 20.224}{4} \approx \frac{-19.224}{4} \approx -4.806\)

Ответ

Таким образом, уравнение имеет два решения: \[ y \approx 5.306 \quad \text{и} \quad y \approx -4.806 \]

Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, пишите, и я с удовольствием объясню!