2y+1/y+3+y+3/y-3=5

Давайте решим уравнение шаг за шагом: Дано уравнение: \[ \frac{2y + 1}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5 \] ### Шаг 1: Упрощение уравнения Для удобства работы с дробями, начнем с того, чтобы привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \(\frac{2y + 1}{y + 3}\) и \(\frac{y + 3}{y - 3}\) будет равен \((y + 3)(y - 3)\). ### Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Перепишем обе дроби с новым знаменателем: 1. Первая дробь: \[ \frac{2y + 1}{y + 3} = \frac{(2y + 1)(y - 3)}{(y + 3)(y - 3)} \] 2. Вторая дробь: \[ \frac{y + 3}{y - 3} = \frac{(y + 3)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{(y + 3)^2}{(y - 3)(y + 3)} \] Теперь наше уравнение выглядит так: \[ \frac{(2y + 1)(y - 3) + (y + 3)^2}{(y + 3)(y - 3)} = 5 \] ### Шаг 3: Умножение обеих сторон на общий знаменатель Умножим обе стороны уравнения на \((y + 3)(y - 3)\), чтобы избавиться от дробей (при условии, что \(y \neq -3\) и \(y \neq 3\)): \[ (2y + 1)(y - 3) + (y + 3)^2 = 5(y + 3)(y - 3) \] ### Шаг 4: Раскрытие скобок Теперь раскроем скобки с обеих сторон: 1. Левая часть: \[ (2y + 1)(y - 3) = 2y^2 - 6y + y - 3 = 2y^2 - 5y - 3 \] \[ (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 \] Тогда левая часть: \[ 2y^2 - 5y - 3 + y^2 + 6y + 9 = 3y^2 + y + 6 \] 2. Правая часть: \[ 5(y + 3)(y - 3) = 5(y^2 - 9) = 5y^2 - 45 \] ### Шаг 5: Составление нового уравнения Теперь составим новое уравнение, приравняв обе стороны: \[ 3y^2 + y + 6 = 5y^2 - 45 \] ### Шаг 6: Перенос всех членов в одну сторону Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3y^2 + y + 6 - 5y^2 + 45 = 0 \] \[ -2y^2 + y + 51 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить: \[ 2y^2 - y - 51 = 0 \] ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Для решения квадратного уравнения \(2y^2 - y - 51 = 0\) используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-51) = 1 + 408 = 409 \] Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня. ### Шаг 8: Вычисление корней Корни уравнения находятся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{409}}{4} \] ### Шаг 9: Приблизительные значения Теперь вычислим корни более подробно: - Приблизительно \( \sqrt{409} \approx 20.224\) Поэтому корни: 1. \(y_1 = \frac{1 + 20.224}{4} \approx \frac{21.224}{4} \approx 5.306\) 2. \(y_2 = \frac{1 - 20.224}{4} \approx \frac{-19.224}{4} \approx -4.806\) ### Ответ Таким образом, уравнение имеет два решения: \[ y \approx 5.306 \quad \text{и} \quad y \approx -4.806 \] Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, пишите, и я с удовольствием объясню!