Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада…
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Для решения данной задачи давайте обозначим некоторые переменные:
- Пусть \( d \) — это количество метров, которое бригада маляров красит каждый день.
- Пусть \( n \) — это общее количество дней, в течение которого бригада работает.
Шаг 1: Составим уравнение для первого и последнего дня.
У нас есть информация о том, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров.
- За первый день бригада покрасила \( d \) метров.
- За последний день, если мы увеличиваем норму покраски каждый день на одно и то же число метров, то за последний день бригада покрасила \( d + (n - 1) \) метров.
Составим уравнение:
\[ d + (d + (n - 1)) = 60 \]
Упростим уравнение:
\[ 2d + (n - 1) = 60 \]
Теперь упростим его:
\[ 2d + n - 1 = 60 \\ 2d + n = 61 \]
Шаг 2: Составим уравнение для общего количества покрашенного забора.
В конечном итоге бригада покрасила 240 метров. Мы можем выразить общее количество покрашенного забора через \( n \) и \( d \):
\[ \text{Общая покраска} = d + (d + 1) + (d + 2) + ... + (d + (n - 1)) \]
Это можно записать как:
\[ \text{Общая покраска} = n \cdot d + (0 + 1 + 2 + ... + (n - 1)) \]
Сумма первых \( n-1 \) чисел (то есть от 0 до \( n-1 \)) равна:
\[ \frac{(n - 1) \cdot n}{2} \]
Тогда общее количество покрашенного забора можно записать как:
\[ nd + \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = 240 \]
Шаг 3: Вместо \( n \) выразим \( d \).
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( 2d + n = 61 \) (1)
- \( nd + \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = 240 \) (2)
Из (1) выразим \( n \):
\[ n = 61 - 2d \]
Подставим \( n \) в (2):
\[ (61 - 2d)d + \frac{(61 - 2d - 1)(61 - 2d)}{2} = 240 \]
Упрощаем:
- \( (61d - 2d^2) + \frac{(60 - 2d)(61 - 2d)}{2} = 240 \).
Теперь раскроем скобки:
\[ 60 \cdot 61 - 120d + 2d^2 = 240. \]
Шаг 4: Найдем значения \( d \) и затем \( n \).
Теперь решим это уравнение. Вместо выполнения всех этих расчетов заметим, что нам нужно полагать \( d \) и \( n \) целыми числами. Постепенно подберем подходящие значения.
После подбора значений, например:
- Пусть \( d = 20 \):
- \( n = 61 - 2 \cdot 20 = 21 \)
- Проверим: \[ \text{Покрашено: } 20 + 21 + 22 + ... + 40 = 20 \cdot 21 + \frac{20 \cdot 21}{2} = 420 + 210 = 240. \] Уже не правильно.
Пробуя разные значения, допустим \( d = 15 \), получим:
- \( d = 15 \Rightarrow n = 31 \).
Ответ:
Таким образом, бригада маляров работала 15 дней. Вы можете проверить каждую попытку, чтобы сузить границы. Вывод: Бригада маляров красила забор 15 дней.
