при каких значениях k прямая y=kx-4 имеет с параболой y=x² только одну общую точку?
Для решения данной задачи нам нужно найти значения \( k \), при которых прямая \( y = kx - 4 \) касается параболы \( y = x^2 \) в одной точке. Это означает, что у нас будет одно общее решение для уравнения, полученного при равенстве этих двух функций.
Запишем уравнение, приравняв прямую и параболу: \[ kx - 4 = x^2 \]
Перепишем его в стандартном виде: \[ x^2 - kx + 4 = 0 \]
Для того чтобы прямая касалась параболы, это уравнение должно иметь единственное решение. В этом случае дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) находится по формуле: \[ D = B^2 - 4AC \] Здесь \( A = 1 \), \( B = -k \), \( C = 4 \).
Подставим значения в формулу для дискриминанта: \[ D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \] \[ D = k^2 - 16 \]
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти \( k \): \[ k^2 - 16 = 0 \]
Решим это уравнение: \[ k^2 = 16 \] \[ k = 4 \quad \text{или} \quad k = -4 \]
Таким образом, прямая будет касаться параболы при следующих значениях: \[ k = 4 \quad \text{или} \quad k = -4 \]
Ответ: \( k = 4 \) или \( k = -4 \) — это значения, при которых прямая \( y = kx - 4 \) имеет с параболой \( y = x^2 \) только одну общую точку.
