Какое равенство справедливо для любых чисел m и n и любых векторов s и t
Для любых чисел \( m \) и \( n \) и любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \) справедливо следующее равенство:
\[ m \cdot (\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m \cdot \mathbf{s} + m \cdot \mathbf{t} \]
Давайте разберем это равенство шаг за шагом.
Пошаговое объяснение:
Определение векторов и чисел:
- Пусть \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \) — это векторы в пространстве (например, в двумерном или трехмерном). Числа \( m \) и \( n \) представляют собой скаляры (обычные числа).
Сложение векторов:
- Векторы могут быть сложены, если они имеют одинаковую размерность. Сложение \( \mathbf{s} + \mathbf{t} \) даст новый вектор, где соответствующие компоненты векторов суммируются.
Умножение вектора на скаляр:
- Умножив вектор \( \mathbf{s} \) на число \( m \), получаем новый вектор, который масштабит компоненты вектора \( \mathbf{s} \) на значение \( m \). Аналогично для вектора \( \mathbf{t} \).
Применение распределительного свойства:
- Распределительность позволяет нам брать один скаляр и применять его к сумме векторов. Это означает, что если мы умножим сумму двух векторов на число, то это эквивалентно умножению каждого из векторов на это число и затем суммированию результатов.
Пример:
Пусть \( \mathbf{s} = (2, 3) \) и \( \mathbf{t} = (1, 4) \), тогда:
Их сумма будет:
\[ \mathbf{s} + \mathbf{t} = (2 + 1, 3 + 4) = (3, 7) \]
Выберем \( m = 2 \), тогда:
\[ 2 \cdot (\mathbf{s} + \mathbf{t}) = 2 \cdot (3, 7) = (6, 14) \]
Теперь, используя распределительное свойство:
\[ 2 \cdot \mathbf{s} + 2 \cdot \mathbf{t} = 2 \cdot (2, 3) + 2 \cdot (1, 4) = (4, 6) + (2, 8) = (6, 14) \]
Как видно, оба подхода приводят к одному и тому же результату \( (6, 14) \).
Заключение:
Таким образом, равенство \( m \cdot (\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m \cdot \mathbf{s} + m \cdot \mathbf{t} \) действительно как для любых чисел \( m \) и \( n \), так и для любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \). Это свойство называется распределительным законом умножения относительно сложения.
