Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что поймём, что нам нужно найти скорость течения реки. Для этого обозначим некоторые переменные и запишем данные, которые у нас есть.
Обозначения:
- Пусть (v) — скорость течения реки (км/ч).
- Пусть (u) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).
Шаг 1: Определим время и расстояние
- Лодочник потерял шляпу и заметил пропажу через 10 минут, что равно ( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} ) часа.
- Он разворачивается и плывает обратно по течению, чтобы забрать шляпу, которая находится на расстоянии 1 км ниже по течению.
Шаг 2: Подсчёт времени в пути
Когда лодочник плывет против течения, его скорость относительно берега составляет (u - v) (скорость лодки минус скорость течения), а когда он плывет по течению — (u + v).
Время на сплавление вниз по течению:
За первые 10 минут лодочник плывёт вниз по течению. За это время он успел проплыть определенное расстояние до точки, где шляпа упала. Пусть это расстояние равно (d).
[
d = (u + v) \cdot \frac{1}{6}
]
Время на возвращение к шляпе:
После того, как лодочник заметил пропажу, он разворачивается и плывет против течения. На пути назад он преодолевает 1 км.
Время, затраченное на этот путь, можно записать как:
[
t_восторга = \frac{1}{u - v}
]
Шаг 3: Общее время
Общее время, которое лодочник потратил на сплавление вниз и обратно, равно 10 минут + (t_восторга). То есть:
[
t_общее = \frac{1}{6} + \frac{1}{u - v}
]
Так как он не потерял времени и сразу стал плыть обратно, то его общее время также равняется (\frac{10}{60} = \frac{1}{6}) часа, то есть:
[
\frac{1}{6} + \frac{1}{u - v} = t_по_течению
]
И поскольку он проплыл 1 км по течению:
[
\frac{1}{u - v} = 1
]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Теперь мы можем записать систему уравнений:
- ( \frac{1}{6} + \frac{1}{u - v} = 1 )
- (d = (u + v) \cdot \frac{1}{6})
Из первого уравнения:
[
\frac{1}{u - v} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
]
Тогда:
[
u - v = \frac{6}{5}
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
(u + v) \cdot \frac{1}{6} = 1
]
Это уравнение позволяет найти старую скорость на основе (u) и (v):
[
u + v = 6
]
Теперь мы имеем систему:
- (u - v = \frac{6}{5})
- (u + v = 6)
Решим эту систему уравнений.
Сложим два уравнения:
[
(u - v) + (u + v) = \frac{6}{5} + 6
]
В результате:
[
2u = 6 + \frac{6}{5}
]
[
2u = \frac{30 + 6}{5} = \frac{36}{5}
]
[
u = \frac{18}{5} = 3.6 \quad (\text{км/ч})
]
Теперь подставим значение (u) обратно, чтобы найти (v):
[
3.6 + v = 6 \Rightarrow v = 6 - 3.6 = 2.4 \quad (\text{км/ч})
]
Ответ
Таким образом, скорость течения реки составляет 2.4 км/ч.
