Решите задачу с подробным объяснением Поплывая под мостом против течения лодочник потерял соломенную шляпу. обнаружив пропажу через 10 минут он повернул назад и проплыв по течению…

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что поймём, что нам нужно найти скорость течения реки. Для этого обозначим некоторые переменные и запишем данные, которые у нас есть.

Обозначения:

• Пусть \(v\) — скорость течения реки (км/ч).
• Пусть \(u\) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).

Шаг 1: Определим время и расстояние

1. Лодочник потерял шляпу и заметил пропажу через 10 минут, что равно \( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \) часа.
2. Он разворачивается и плывает обратно по течению, чтобы забрать шляпу, которая находится на расстоянии 1 км ниже по течению.

Шаг 2: Подсчёт времени в пути

Когда лодочник плывет против течения, его скорость относительно берега составляет \(u - v\) (скорость лодки минус скорость течения), а когда он плывет по течению — \(u + v\).

1. Время на сплавление вниз по течению:
   За первые 10 минут лодочник плывёт вниз по течению. За это время он успел проплыть определенное расстояние до точки, где шляпа упала. Пусть это расстояние равно \(d\).

   \[ d = (u + v) \cdot \frac{1}{6} \]

2. Время на возвращение к шляпе:
   После того, как лодочник заметил пропажу, он разворачивается и плывет против течения. На пути назад он преодолевает 1 км.

   Время, затраченное на этот путь, можно записать как: \[ t_восторга = \frac{1}{u - v} \]

Шаг 3: Общее время

Общее время, которое лодочник потратил на сплавление вниз и обратно, равно 10 минут + \(t_восторга\). То есть:

\[ t_общее = \frac{1}{6} + \frac{1}{u - v} \]

Так как он не потерял времени и сразу стал плыть обратно, то его общее время также равняется \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) часа, то есть:

\[ \frac{1}{6} + \frac{1}{u - v} = t_по_течению \]

И поскольку он проплыл 1 км по течению:

\[ \frac{1}{u - v} = 1 \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. \( \frac{1}{6} + \frac{1}{u - v} = 1 \)
2. \(d = (u + v) \cdot \frac{1}{6}\)

Из первого уравнения:

\[ \frac{1}{u - v} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Тогда:

\[ u - v = \frac{6}{5} \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ (u + v) \cdot \frac{1}{6} = 1 \]

Это уравнение позволяет найти старую скорость на основе \(u\) и \(v\):

\[ u + v = 6 \]

Теперь мы имеем систему:

1. \(u - v = \frac{6}{5}\)
2. \(u + v = 6\)

Решим эту систему уравнений.

Сложим два уравнения:

\[ (u - v) + (u + v) = \frac{6}{5} + 6 \]

В результате:

\[ 2u = 6 + \frac{6}{5} \] \[ 2u = \frac{30 + 6}{5} = \frac{36}{5} \] \[ u = \frac{18}{5} = 3.6 \quad (\text{км/ч}) \]

Теперь подставим значение \(u\) обратно, чтобы найти \(v\):

\[ 3.6 + v = 6 \Rightarrow v = 6 - 3.6 = 2.4 \quad (\text{км/ч}) \]

Ответ

Таким образом, скорость течения реки составляет 2.4 км/ч.