Рассмотрим выражение ( S = \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{63 \cdot 64} ).
Это - сумма дробей, где каждая дробь имеет вид (\frac{1}{n(n+1)}). Мы можем упростить каждую дробь, используя разложение на простейшие дроби:
[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
]
Таким образом, запишем сумму:
[
S = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{63} - \frac{1}{64} \right)
]
Теперь заметим, что при сложении дробей некоторые элементы будут сокращаться:
- Все отрицательные части из каждой дроби покроются положительными частями следующей дроби.
Таким образом, при сложении мы получим:
[
S = \frac{1}{5} - \frac{1}{64}
]
Теперь вычислим это:
Вычислим ( \frac{1}{5} ):
[
\frac{1}{5} = 0.2
]
Вычислим ( \frac{1}{64} ):
[
\frac{1}{64} = 0.015625
]
Вырежем разницу:
[
S = 0.2 - 0.015625 = 0.184375
]
Итак, окончательный ответ на нашу задачу:
[
S = \frac{1}{5} - \frac{1}{64} = \frac{64 - 5}{320} = \frac{59}{320}
]
Таким образом, сумма данного ряда:
[
S = \frac{59}{320}
]
Вывод: Сумма выражения составляет (\frac{59}{320}).
