1/(5⋅ 6)+ 1/(6⋅ 7)+ 1/(7⋅8)+ ... + 1/(63⋅ 64)
Рассмотрим выражение \( S = \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{63 \cdot 64} \).
Это - сумма дробей, где каждая дробь имеет вид \(\frac{1}{n(n+1)}\). Мы можем упростить каждую дробь, используя разложение на простейшие дроби:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]
Таким образом, запишем сумму:
\[ S = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{63} - \frac{1}{64} \right) \]
Теперь заметим, что при сложении дробей некоторые элементы будут сокращаться:
- Все отрицательные части из каждой дроби покроются положительными частями следующей дроби.
Таким образом, при сложении мы получим:
\[ S = \frac{1}{5} - \frac{1}{64} \]
Теперь вычислим это:
Вычислим \( \frac{1}{5} \): \[ \frac{1}{5} = 0.2 \]
Вычислим \( \frac{1}{64} \): \[ \frac{1}{64} = 0.015625 \]
Вырежем разницу: \[ S = 0.2 - 0.015625 = 0.184375 \]
Итак, окончательный ответ на нашу задачу:
\[ S = \frac{1}{5} - \frac{1}{64} = \frac{64 - 5}{320} = \frac{59}{320} \]
Таким образом, сумма данного ряда:
\[ S = \frac{59}{320} \]
Вывод: Сумма выражения составляет \(\frac{59}{320}\).
