В основании тетраэдра SABC лежит равносторонний треугольник ABC со стороной 8. Найди градусную меру угла между плоскостями (SAC) и (ABC), если SA=4 7 и ребро SB⊥(ABC).

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти угол между плоскостями (SAC) и (ABC) в тетраэдре SABC, где основание — равносторонний треугольник ABC, а точка S имеет высоту относительно плоскости ABC.

Шаг 1: Изучим данную информацию

• В основании стоит равносторонний треугольник ABC со стороной 8.
• Длина отрезка SA равна 4.
• Ребро SB перпендикулярно плоскости ABC.

Шаг 2: Найдем координаты точек

Представим точки ABC в системе координат:

• A(0, 0, 0)
• B(8, 0, 0)
• C(4, \(4\sqrt{3}\), 0) (по формуле для высоты равностороннего треугольника, высота равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где a = 8)

Теперь определяем точку S. Поскольку SA = 4, точка S будет находиться выше точки A:

• S(0, 0, 4)

Шаг 3: Найдем нормали к плоскостям

Для нахождения угла между плоскостями нам нужны нормали к этим плоскостям.

1. Плоскость (ABC): Поскольку ABC лежит в плоскости z = 0, нормаль к плоскости ABC будет направлена вдоль оси z: \[ \vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1) \]

2. Плоскость (SAC): Для нахождения нормали к плоскости SAC, воспользуемся векторами SA и SC:

   • Вектор SA: \[ \vec{SA} = S - A = (0, 0, 4) - (0, 0, 0) = (0, 0, 4) \]
   • Вектор SC: \[ \vec{SC} = S - C = (0, 0, 4) - (4, 4\sqrt{3}, 0) = (-4, -4\sqrt{3}, 4) \]

   Далее вычислим векторное произведение SA и SC для нахождения нормали к плоскости SAC: \[ \vec{n}_{SAC} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 4 \\ -4 & -4\sqrt{3} & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0\cdot4 - 4\cdot(-4\sqrt{3})) - \hat{j}(0\cdot4 - 4\cdot(-4)) + \hat{k}(0\cdot(-4\sqrt{3}) - 0) = \hat{i}(16\sqrt{3}) + \hat{j}(16) + \hat{k}(0) = (16\sqrt{3}, 16, 0) \]

Шаг 4: Найдем угол между нормалями

Теперь, используя скалярное произведение, найдем угол \( \theta \) между плоскостями (SAC) и (ABC): \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_{SAC} \cdot \vec{n}_{ABC}}{|\vec{n}_{SAC}| |\vec{n}_{ABC}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{n}_{SAC} \cdot \vec{n}_{ABC} = (16\sqrt{3}, 16, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0 \]

Далее, вычислим длины векторов:

• \( |\vec{n}_{SAC}| = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 16^2 + 0^2} = \sqrt{768 + 256} = \sqrt{1024} = 32 \)
• \( |\vec{n}_{ABC}| = 1 \)

Таким образом, подставим значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{0}{32 \cdot 1} = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ \]

Ответ

Градусная мера угла между плоскостями (SAC) и (ABC) равна \(90^\circ\).