На рисунке изображён конус, объём которого равен 320 . Параллельно основанию конуса проведена плоскость через точку, которая делит его высоту в отношении 1:3 , считая от вершины.…

Для решения этой задачи давайте подробно разберемся с формулой объема конуса и тем, как изменение высоты влияет на объем.

Шаг 1: Формула объема конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где:

• \( V \) — объем,
• \( r \) — радиус основания,
• \( h \) — высота.

Шаг 2: Дано

У нас есть:

• Общий объем конуса \( V = 320 \).
• Высота конуса делится в отношении \( 1:3 \). Это означает, что часть высоты, находящаяся выше плоскости, составляет \( \frac{1}{4} \) общей высоты, а нижняя часть — \( \frac{3}{4} \).

Шаг 3: Определение высоты отсекаемого конуса

Обозначим высоту исходного конуса как \( H \). Тогда высота конуса, который находится выше плоскости, равна:

\[ h_{\text{верх}} = \frac{1}{4} H \]

Соответственно, высота теряемого конуса (или конуса, находящегося ниже плоскости) будет:

\[ h_{\text{низ}} = \frac{3}{4} H \]

Шаг 4: Объем отсекаемого конуса

Рассмотрим, что радиус основания нового конуса (нижней части) \( r_{\text{низ}} \) и высота \( h_{\text{низ}} \) связаны с исходным конусом. Поскольку высота пропорциональна радиусу в подобии фигур, получаем:

\[ r_{\text{низ}} = \frac{3}{4} r \]

Шаг 5: Подстановка в формулу объема

Теперь мы можем найти объем конуса, находящегося ниже плоскости:

\[ V_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi (r_{\text{низ}})^2 h_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4} r\right)^2 \left(\frac{3}{4} H\right) \]

Подставляем радиус и высоту:

\[ V_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{9}{16} r^2\right) \left(\frac{3}{4} H\right) \]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4} \pi r^2 H \]

\[ = \frac{27}{64} \left(\frac{1}{3} \pi r^2 H\right) = \frac{27}{64} V \]

Шаг 6: Подставим известный объем

Так как \( V = 320 \), то:

\[ V_{\text{низ}} = \frac{27}{64} \cdot 320 \]

Шаг 7: Рассчитаем объем

Теперь выполните умножение:

\[ V_{\text{низ}} = \frac{27 \cdot 320}{64} = \frac{8640}{64} = 135 \]

Ответ

Объем отсекаемого конуса, находящегося ниже плоскости, равен 135.