Для решения этой задачи давайте подробно разберемся с формулой объема конуса и тем, как изменение высоты влияет на объем.
Шаг 1: Формула объема конуса
Объем конуса вычисляется по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где:
- ( V ) — объем,
- ( r ) — радиус основания,
- ( h ) — высота.
Шаг 2: Дано
У нас есть:
- Общий объем конуса ( V = 320 ).
- Высота конуса делится в отношении ( 1:3 ). Это означает, что часть высоты, находящаяся выше плоскости, составляет ( \frac{1}{4} ) общей высоты, а нижняя часть — ( \frac{3}{4} ).
Шаг 3: Определение высоты отсекаемого конуса
Обозначим высоту исходного конуса как ( H ). Тогда высота конуса, который находится выше плоскости, равна:
[
h_{\text{верх}} = \frac{1}{4} H
]
Соответственно, высота теряемого конуса (или конуса, находящегося ниже плоскости) будет:
[
h_{\text{низ}} = \frac{3}{4} H
]
Шаг 4: Объем отсекаемого конуса
Рассмотрим, что радиус основания нового конуса (нижней части) ( r_{\text{низ}} ) и высота ( h_{\text{низ}} ) связаны с исходным конусом. Поскольку высота пропорциональна радиусу в подобии фигур, получаем:
[
r_{\text{низ}} = \frac{3}{4} r
]
Шаг 5: Подстановка в формулу объема
Теперь мы можем найти объем конуса, находящегося ниже плоскости:
[
V_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi (r_{\text{низ}})^2 h_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4} r\right)^2 \left(\frac{3}{4} H\right)
]
Подставляем радиус и высоту:
[
V_{\text{низ}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{9}{16} r^2\right) \left(\frac{3}{4} H\right)
]
[
= \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4} \pi r^2 H
]
[
= \frac{27}{64} \left(\frac{1}{3} \pi r^2 H\right) = \frac{27}{64} V
]
Шаг 6: Подставим известный объем
Так как ( V = 320 ), то:
[
V_{\text{низ}} = \frac{27}{64} \cdot 320
]
Шаг 7: Рассчитаем объем
Теперь выполните умножение:
[
V_{\text{низ}} = \frac{27 \cdot 320}{64} = \frac{8640}{64} = 135
]
Ответ
Объем отсекаемого конуса, находящегося ниже плоскости, равен 135.
