Что вероятнее? Выиграть у равносильного партнёра 3 партии из 5 или 4 из 6

Чтобы определить, что вероятнее — выиграть 3 партии из 5 или 4 из 6 равносильного партнёра, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения. В данной задаче вероятность выигрыша для равносильного партнёра, т.е. вероятность выигрыша одной партии, составляет 0.5.

1. Выиграть 3 из 5 партий

Для нахождения вероятности выигрыша 3 из 5 партий воспользуемся формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее число попыток (партий),
• \( k \) — число успешных исходов (выигранных партий),
• \( p \) — вероятность успеха в одной попытке,
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, определяемый как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В нашем случае:

• \( n = 5 \),
• \( k = 3 \),
• \( p = 0.5 \).

Теперь вычислим вероятность:

\[ P(3 \text{ wins out of } 5) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{5-3} \]

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( \binom{5}{3} \):

\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ P(3 \text{ wins out of } 5) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \approx 0.3125 \]

2. Выиграть 4 из 6 партій

Теперь рассчитаем вероятность выигрыша 4 из 6 партий, аналогично:

\[ P(4 \text{ wins out of } 6) = \binom{6}{4} (0.5)^4 (0.5)^{6-4} \]

Находим биномиальный коэффициент \( \binom{6}{4} \):

\[ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

Подставим в форму:

\[ P(4 \text{ wins out of } 6) = 15 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^2 = 15 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.234375 \]

3. Сравнение вероятностей

Теперь у нас есть две вероятности:

• Вероятность выиграть 3 из 5 партий: \( P(3 \text{ wins out of } 5) = \frac{5}{16} \approx 0.3125 \)
• Вероятность выиграть 4 из 6 партий: \( P(4 \text{ wins out of } 6) = \frac{15}{64} \approx 0.234375 \)

Сравнивая эти два значения, видно, что:

\[ 0.3125 > 0.234375 \]

Итог:

Вероятнее выиграть 3 партии из 5, чем 4 из 6.