В трапеции ABCD ( АВ || CD), отношение оснований равно 2 : 3 и диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника COD, если площадь треугольника AOD равна 6.

Чтобы решить задачу, давайте начнём с анализа данных.

1. Даны условия:

   • В трапеции ABCD основания: AB || CD.
   • Отношение оснований \( AB : CD = 2 : 3 \).
   • Площадь треугольника AOD \( S_{AOD} = 6 \).
   • Нам нужно найти площадь треугольника COD \( S_{COD} \).

2. Обозначим длины оснований:

   • Пусть длина основания AB = \( 2x \).
   • Тогда длина основания CD = \( 3x \).

3. Свойство трапеции и площади треугольников:

   • В трапеции ABCD, когда диагонали пересекаются, площади образованных треугольников соотносятся между собой. Поскольку треугольники AOD и COD имеют общую вершину O и основание, их площади пропорциональны основаниям AB и CD.

4. Соотношение площадей:

   • Используя соотношение оснований, можем записать:

\[ \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AB}{CD} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \]

5. Подставляем известную площадь:
   • Подставляя \( S_{AOD} = 6 \):

\[ \frac{6}{S_{COD}} = \frac{2}{3} \]

6. Находим площадь \( S_{COD} \):
   • Умножим обе стороны уравнения на \( S_{COD} \) и решим:

\[ 6 \cdot 3 = 2 \cdot S_{COD} \] \[ 18 = 2 \cdot S_{COD} \] \[ S_{COD} = \frac{18}{2} = 9 \]

7. Ответ:
   • Площадь треугольника COD равна 9.

Таким образом, мы нашли площадь треугольника COD, используя соотношение длин оснований и известную площадь треугольника AOD.