Чистая прибыль магазина увеличивается каждый год на 20%. Сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что представим увеличение чистой прибыли магазина в виде формулы.

1. Определим начальную прибыль: Пусть начальная прибыль магазина равна \( P \).

2. Определим увеличение прибыли: Через год прибыль магазина увеличится на 20%. Это можно записать как: \[ P_1 = P \times (1 + 0.20) = P \times 1.20 \] Через два года: \[ P_2 = P_1 \times 1.20 = P \times (1.20)^2 \] И так далее. После \( n \) лет прибыль будет равна: \[ P_n = P \times (1.20)^n \]

3. Формулируем условие задачи: Нам нужно, чтобы прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза от начальной: \[ P_n \geq 2.4 \times P \]

   Подставим выражение для \( P_n \): \[ P \times (1.20)^n \geq 2.4 \times P \]

   Мы можем разделить обе стороны на \( P \) (при условии, что \( P > 0 \)): \[ (1.20)^n \geq 2.4 \]

4. Применим логарифм для решения неравенства: Применим логарифм к неравенству, чтобы решить его для \( n \): \[ \log((1.20)^n) \geq \log(2.4) \] Это можно упростить с помощью свойства логарифмов: \[ n \times \log(1.20) \geq \log(2.4) \] Теперь выразим \( n \): \[ n \geq \frac{\log(2.4)}{\log(1.20)} \]

5. Вычислим значения логарифмов: Используем значения для логарифмов (в любом основании, например, основание 10):

   • \( \log(2.4) \approx 0.3802 \)
   • \( \log(1.20) \approx 0.0792 \)

   Подставляем в неравенство: \[ n \geq \frac{0.3802}{0.0792} \approx 4.79 \]

6. Заключение: Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем вверх до ближайшего целого числа. То есть: \[ n = 5 \]

Таким образом, чтобы чистая прибыль магазина увеличилась как минимум в 2,4 раза, должно пройти не менее 5 полных лет.