Решение дробных рациональных уравнений 3x^2- 7/x+5 2x + 1/x+5 Решите уравнение Найдите корень уравнения (если он единственный) или разность наибольшего и наименьшего корней (если уравнение имеет более одного корня). 1) 10 /3 2) 2 3) -2 4) -10/3

Для решения уравнения \( \frac{3x^2 - 7}{x + 5} = \frac{2x + 1}{x + 5} \) мы начнем с того, что и числитель, и знаменатель уравнения равны при условии, что знаменатель не равен нулю. Сначала мы должны определить значение \( x \), при котором знаменатель \( x + 5 \neq 0 \): 1. **Определение запрещенного значения**: \[ x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5 \] Теперь переходим к решению уравнения. 2. **Упрощение уравнения**: Поскольку наш знаменатель \( x + 5 \) не равен 0, мы можем умножить обе части уравнения на \( x + 5 \): \[ 3x^2 - 7 = 2x + 1 \] 3. **Перенос всех членов в одну сторону**: \[ 3x^2 - 2x - 8 = 0 \] 4. **Решение квадратного уравнения**: Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого будем использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 3 \), \( b = -2 \), и \( c = -8 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \] Теперь, когда мы нашли дискриминант, мы можем найти корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляя найденные значения: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 10}{6} \] Теперь найдем два возможных значения для \( x \): 1. \( x_1 = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \) 5. **Проверка корней**: Корни уравнения были найдены: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -\frac{4}{3} \). Так как у нас два корня, то, согласно условию задачи, нам необходимо вычислить разность наибольшего и наименьшего корня: \[ x_{max} - x_{min} = 2 - \left(-\frac{4}{3}\right) = 2 + \frac{4}{3} \] Чтобы выполнить сложение, приведем 2 к общему знаменателю: \[ 2 = \frac{6}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \] 6. **Ответ**: Таким образом, разность наибольшего и наименьшего корней равна \( \frac{10}{3} \). **Верный ответ:** 1) \( \frac{10}{3} \)