у³-9у/у+7 × 4у+28/у²+6у+9 ÷ у²-3у/3+у. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение \( \frac{y^3 - 9y}{y + 7} \times \frac{4y + 28}{y^2 + 6y + 9} \div \frac{y^2 - 3y}{3 + y} \), мы будем следовать пошагово.

Шаг 1: Упрощение каждого компонента

1.1: Начнем с первого компонента \( \frac{y^3 - 9y}{y + 7} \).

• В числителе можно вынести \( y \):
  \[ y^3 - 9y = y(y^2 - 9) = y(y - 3)(y + 3) \]

Таким образом мы имеем:
\[ \frac{y(y - 3)(y + 3)}{y + 7} \]

1.2: Переходим ко второму компоненту \( \frac{4y + 28}{y^2 + 6y + 9} \).

• В числителе можно вынести \( 4 \):
  \[ 4y + 28 = 4(y + 7) \]

• В знаменателе \( y^2 + 6y + 9 \) можно разложить на множители:
  \[ y^2 + 6y + 9 = (y + 3)(y + 3) = (y + 3)^2 \]

Таким образом мы имеем:
\[ \frac{4(y + 7)}{(y + 3)^2} \]

1.3: Переходим к третьему компоненту \( \frac{y^2 - 3y}{3 + y} \).

• В числителе можно вынести \( y \):
  \[ y^2 - 3y = y(y - 3) \]

Таким образом мы имеем:
\[ \frac{y(y - 3)}{3 + y} \]

Шаг 2: Объединение выражений

После упрощения все три компонента выглядят следующим образом: \[ \frac{y(y - 3)(y + 3)}{y + 7} \times \frac{4(y + 7)}{(y + 3)^2} \div \frac{y(y - 3)}{3 + y} \]

Теперь учтем, что деление на \( \frac{y(y - 3)}{3 + y} \) равносильно умножению на его обратное: \[ \frac{y(y - 3)(y + 3)}{y + 7} \times \frac{4(y + 7)}{(y + 3)^2} \times \frac{3 + y}{y(y - 3)} \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь сократим дальнейшие части:

1. \( y(y - 3) \) в числителе и знаменателе сокращаем.
2. \( y + 7 \) также сокращаем.

Таким образом, после сокращений мы имеем: \[ \frac{4(y + 3)(3 + y)}{y + 3} \]

Теперь \( (y + 3) \) в числителе и знаменателе также сокращается.

В результате мы остаемся с: \[ 4(3 + y) = 4y + 12 \]

Ответ

Упрощённое выражение:
\[ 4y + 12 \]

Это окончательный ответ.