1

Для решения этих задач разберем их по порядку.

Задача 1

Найти \( a_2 \) и \( S_7 \) членов алгебраической прогрессии \( a_n \), если \( a_1 = 5 \), \( a_{12} = 11 \).

Алгебраическая прогрессия (чаще называемая арифметической прогрессией) определяется формулой \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), где \( d \) — разность прогрессии.

1. Найдем \( d \): \[ a_{12} = a_1 + 11d = 11 \] \[ 5 + 11d = 11 \] \[ 11d = 6 \] \[ d = \frac{6}{11} \]

2. Найдем \( a_2 \): \[ a_2 = a_1 + 1 \cdot d = 5 + \frac{6}{11} = \frac{55}{11} + \frac{6}{11} = \frac{61}{11} \]

3. Найдем сумму первых 7 членов (\( S_7 \)): \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] \[ a_7 = a_1 + 6d = 5 + 6 \cdot \frac{6}{11} = 5 + \frac{36}{11} = \frac{55}{11} + \frac{36}{11} = \frac{91}{11} \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot \left(5 + \frac{91}{11}\right) = \frac{7}{2} \cdot \frac{146}{11} = \frac{7 \cdot 146}{22} \] \[ S_7 = \frac{1022}{22} = \frac{511}{11} \]

Задача 2

Найти \( b_6 \) 5 членов геометрической прогрессии, если \( b_1 = 7 \), \( q = 2 \).

Геометрическая прогрессия определяется формулой \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Найдем \( b_6 \): \[ b_6 = b_1 \cdot q^{5} = 7 \cdot 2^5 = 7 \cdot 32 = 224 \]

Задача 3

Найти номер члена в арифметической прогрессии \( (a_n) \), равного 6, если \( a_1 = 1 \), \( d = 0.6 \).

1. Используем формулу прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] \[ 6 = 1 + (n-1) \cdot 0.6 \] \[ 5 = (n-1) \cdot 0.6 \] \[ n-1 = \frac{5}{0.6} \] \[ n-1 = \frac{50}{6} = 8.33 \] Таким образом, точного целого числа нет, задача некорректно сформулирована в условиях.

Задача 4

Какие два числа надо вставить между числами \( 2 \) и \( 162 \), чтобы с ними образовалась геометрическая прогрессия?

1. Используем формулу геометрической прогрессии: Первое число \( a_1 = 2 \), четвертое число \( a_4 = 162 \). \[ a_4 = a_1 \cdot q^3 \] \[ 162 = 2 \cdot q^3 \] \[ q^3 = \frac{162}{2} = 81 \] \[ q = \sqrt[3]{81} = 3 \]

2. Найдем второе и третье число:

   • Второе число: \( a_2 = a_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6 \)
   • Третье число: \( a_3 = a_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18 \)

Теперь задача решена с подробными объяснениями для каждого шага.