Решить обо варианта

Давайте решим задания из обоих вариантов контрольной работы № 8, которые вы прислали. ### Вариант 1: 1. **Постройте графики функций:** \( y = x^2 - 1 \) и \( y = -x^2 + 2 \). Чтобы построить графики квадратичных функций, начнем с определения их свойств, таких как вершина и оси симметрии: - Для \( y = x^2 - 1 \): - Вершина параболы: (0, -1) - Направление ветвей: вверх - Точка пересечения с осью Y: (0, -1) - Для \( y = -x^2 + 2 \): - Вершина параболы: (0, 2) - Направление ветвей: вниз - Точка пересечения с осью Y: (0, 2) Далее, вычислите несколько точек и постройте графики. 2. **Найдите точки пересечения:** Систему уравнений рассматриваем: \[ \begin{cases} y = x^2 - 1 \\ y = -x^2 + 2 \end{cases} \] Приравниваем два выражения: \[ x^2 - 1 = -x^2 + 2 \\ 2x^2 = 3 \\ x^2 = \frac{3}{2} \\ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] Найдем \( y \): \[ y = (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Значит, точки пересечения: \( (\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}) \) и \( (-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}) \). 3. **Найдите корни уравнения:** \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c = -2 \\ D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \). 4. **Вычислите графически систему уравнений:** Постройте \( y = 2x + 4 \) и \( y = -x - 2 \) и найдите точку пересечения. ### Вариант 2: 1. **Постройте графики функций:** \( y = x^2 + 1 \) и \( y = -x^2 + 3 \). Проведем такой же анализ, как и в первом варианте. 2. **Найдите точки пересечения функций:** Система выглядит так: \[ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = -x^2 + 3 \end{cases} \] Приравняем: \[ x^2 + 1 = -x^2 + 3 \\ 2x^2 = 2 \\ x^2 = 1 \\ x = \pm 1 \] Значит \( y = 2 \) при \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Точки пересечения: (1, 2) и (-1, 2). 3. **Найдите корни уравнения:** \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Анализ: \[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \\ D = b^2 - 4ac = 4 + 12 = 16 \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -3 \). 4. **Вычислите графически систему уравнений:** Постройте \( y = 3x - 2 \) и \( y = -2x + 1 \), определите их точку пересечения. Если что-то останется непонятным, спрашивайте!