Для решения задачи начнем с определения всех необходимых параметров и этапов.
Шаг 1: Нахождение радиуса цилиндра
В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами ( a = 9 ) см и ( b = 15 ) см. Найдем длину гипотенузы ( c ):
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 15^2} = \sqrt{81 + 225} = \sqrt{306} = 3\sqrt{34} \approx 17.44 \text{ см}
]
Цилиндр описан около этой призмы, поэтому его радиус равен половине длины меньшего катета (так как окружность описана вокруг треугольника). Таким образом, радиус ( R ) цилиндра:
[
R = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}
]
Шаг 2: Нахождение высоты призмы
Теперь нужно найти высоту призмы, которая связана с углом между диагональю большей грани и плоскостью основания (45 градусов). Для понимания:
- Диагональ большей грани - это диагональ прямоугольника, образованного катетами 9 см и 15 см и высотой ( h ).
- Угол 45 градусов означает, что высота призмы ( h ) равна длине диагонали основания ( d ) (гипотенузы):
[
d = \sqrt{9^2 + 15^2} = \sqrt{306} \text{ см}
]
Видим, что:
[
\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{d} \implies h = d = \sqrt{306} \approx 17.44 \text{ см}
]
Шаг 3: Нахождение площади полной поверхности цилиндра
Теперь, когда мы знаем радиус ( R ) и высоту ( h ) цилиндра, можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра по формуле:
[
S = 2\pi R h + 2\pi R^2
]
- Площадь боковой поверхности: ( 2\pi R h )
- Площадь оснований: ( 2\pi R^2 )
Первый шаг — вычисление каждой части:
- Площадь боковой поверхности:
[
2\pi R h = 2 \cdot \pi \cdot 4.5 \cdot 17.44
]
[
\approx 2 \cdot 3.14 \cdot 4.5 \cdot 17.44 \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 78.48 \approx 493.88 \text{ см}^2
]
- Площадь оснований:
[
2\pi R^2 = 2 \cdot \pi \cdot (4.5)^2 = 2 \cdot \pi \cdot 20.25
]
[
\approx 2 \cdot 3.14 \cdot 20.25 \approx 2 \cdot 63.59 \approx 127.18 \text{ см}^2
]
Шаг 4: Общая площадь
Теперь найдем полную площадь:
[
S \approx 493.88 + 127.18 \approx 621.06 \text{ см}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 621.06 см².
