y=x³-27x начертить график функции

Чтобы начертить график функции \( y = x^3 - 27x \), давайте поэтапно разберем, как это сделать.

Шаг 1: Найти нули функции

Сначала найдем корни (нули) функции, при которых \( y = 0 \): \[ x^3 - 27x = 0 \] Можно вынести общий множитель \( x \): \[ x(x^2 - 27) = 0 \] Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 27 = 0 \)

Решим второе уравнение: \[ x^2 = 27 \Rightarrow x = \pm \sqrt{27} \Rightarrow x = \pm 3\sqrt{3} \] Таким образом, нули функции: \[ x = 0, x = 3\sqrt{3}, x = -3\sqrt{3} \]

Шаг 2: Найти производную и критические точки

Чтобы понять, как ведет себя функция, вычислим её производную: \[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 27 \] Поставим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 27 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 27 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \]

Шаг 3: Определить знак производной

Теперь определим, как функция ведет себя на интервалах, используя критические точки \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

• Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ \frac{dy}{dx} = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0 \text{ (функция возрастает)} \]

• Для \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{dy}{dx} = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0 \text{ (функция убывает)} \]

• Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ \frac{dy}{dx} = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0 \text{ (функция возрастает)} \]

Таким образом, у функции есть локальный максимум в \( x = -3 \) и локальный минимум в \( x = 3 \).

Шаг 4: Найти значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• \( y(-3) = (-3)^3 - 27(-3) = -27 + 81 = 54 \)
• \( y(3) = (3)^3 - 27(3) = 27 - 81 = -54 \)

Шаг 5: Параметры графика

Теперь у нас есть важные точки для построения графика:

• Нули функции: \( (0, 0), (3\sqrt{3}, 0), (-3\sqrt{3}, 0) \)
• Локальный максимум: \( (-3, 54) \)
• Локальный минимум: \( (3, -54) \)

Шаг 6: Начертить график

С помощью всех собранных данных мы можем начертить график функции:

1. Нанесите точки на координатную плоскость.
2. Соедините точки плавной кривой, соблюдая возрастание и убывание функции на разных интервалах.

Вы получите график кубической функции, который будет иметь вид "S", проходящий через указанные точки.

Заключение

Таким образом, мы разобрались с графиком функции \( y = x^3 - 27x \), нашли ее нули, критические точки и значения. Вы можете использовать это объяснение, чтобы нарисовать график самостоятельно. Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!