(m ^ 2 + m)/2 \ge

Давайте рассмотрим неравенство:

\[ \frac{m^2 + m}{2} \ge 0 \]

Шаг 1: Упростим неравенство

Чтобы избавиться от дроби, мы можем умножить обе стороны неравенства на \( 2 \). Заметим, что \( 2 \) является положительным числом, поэтому знак неравенства не изменится:

\[ m^2 + m \ge 0 \]

Шаг 2: Извлечем общий множитель

Теперь мы можем вынести \( m \) из левой части:

\[ m(m + 1) \ge 0 \]

Шаг 3: Найдем нули функции

Решим уравнение \( m(m + 1) = 0 \):

1. \( m = 0 \)
2. \( m + 1 = 0 \implies m = -1 \)

Эти значения, \( m = 0 \) и \( m = -1 \), делят числовую прямую на три интервала. Теперь проверим знак \( m(m + 1) \) на каждом из интервалов:

• Интервал 1: \( (-\infty, -1) \)
• Интервал 2: \( (-1, 0) \)
• Интервал 3: \( (0, +\infty) \)

Шаг 4: Проверим знаки на интервалах

1. Выберем \( m = -2 \) из интервала \( (-\infty, -1) \): \[ -2(-2 + 1) = -2(-1) = 2 \quad \text{(положительно)} \]

2. Выберем \( m = -0.5 \) из интервала \( (-1, 0) \): \[ -0.5(-0.5 + 1) = -0.5(0.5) = -0.25 \quad \text{(отрицательно)} \]

3. Выберем \( m = 1 \) из интервала \( (0, +\infty) \): \[ 1(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \quad \text{(положительно)} \]

Шаг 5: Сводим результаты

Теперь можем сделать вывод о знаках функции:

• На интервале \( (-\infty, -1) \): положительно
• На интервале \( (-1, 0) \): отрицательно
• На интервале \( (0, +\infty) \): положительно

Шаг 6: Учитываем нули

Неравенство требует, чтобы выражение было больше или равно нулю, следовательно:

• Значение \( m = -1 \) (ноль),
• Значение \( m = 0 \) (ноль).

Таким образом, решение неравенства:

\[ m \le -1 \quad \text{или} \quad m \ge 0 \]

Итог

Результатом неравенства \( \frac{m^2 + m}{2} \ge 0 \) являются следующие значения \( m \):

\[ m \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) \]