(m ^ 2 + m)/2 \ge

Давайте рассмотрим неравенство: \[ \frac{m^2 + m}{2} \ge 0 \] ### Шаг 1: Упростим неравенство Чтобы избавиться от дроби, мы можем умножить обе стороны неравенства на \( 2 \). Заметим, что \( 2 \) является положительным числом, поэтому знак неравенства не изменится: \[ m^2 + m \ge 0 \] ### Шаг 2: Извлечем общий множитель Теперь мы можем вынести \( m \) из левой части: \[ m(m + 1) \ge 0 \] ### Шаг 3: Найдем нули функции Решим уравнение \( m(m + 1) = 0 \): 1. \( m = 0 \) 2. \( m + 1 = 0 \implies m = -1 \) Эти значения, \( m = 0 \) и \( m = -1 \), делят числовую прямую на три интервала. Теперь проверим знак \( m(m + 1) \) на каждом из интервалов: - **Интервал 1**: \( (-\infty, -1) \) - **Интервал 2**: \( (-1, 0) \) - **Интервал 3**: \( (0, +\infty) \) ### Шаг 4: Проверим знаки на интервалах 1. Выберем \( m = -2 \) из интервала \( (-\infty, -1) \): \[ -2(-2 + 1) = -2(-1) = 2 \quad \text{(положительно)} \] 2. Выберем \( m = -0.5 \) из интервала \( (-1, 0) \): \[ -0.5(-0.5 + 1) = -0.5(0.5) = -0.25 \quad \text{(отрицательно)} \] 3. Выберем \( m = 1 \) из интервала \( (0, +\infty) \): \[ 1(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \quad \text{(положительно)} \] ### Шаг 5: Сводим результаты Теперь можем сделать вывод о знаках функции: - На интервале \( (-\infty, -1) \): положительно - На интервале \( (-1, 0) \): отрицательно - На интервале \( (0, +\infty) \): положительно ### Шаг 6: Учитываем нули Неравенство требует, чтобы выражение было больше или равно нулю, следовательно: - Значение \( m = -1 \) (ноль), - Значение \( m = 0 \) (ноль). Таким образом, решение неравенства: \[ m \le -1 \quad \text{или} \quad m \ge 0 \] ### Итог Результатом неравенства \( \frac{m^2 + m}{2} \ge 0 \) являются следующие значения \( m \): \[ m \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) \]