Б
Для решения системы уравнений:
- \[3x + y + 4 = 0\]
- \[x^2 - y^2 = 2\]
мы будем использовать метод подстановки.
Шаг 1: Выразим \(y\) из первого уравнения
Из первого уравнения выразим \(y\):
\[y = -3x - 4\]
Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение
Подставим \(y = -3x - 4\) во второе уравнение:
\[x^2 - (-3x - 4)^2 = 2\]
Теперь раскроем квадрат:
\[x^2 - ((-3x - 4)(-3x - 4)) = 2\]
\[x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2\]
Шаг 3: Упростим и решим квадратное уравнение
\[x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2\]
\[-8x^2 - 24x - 16 = 2\]
Приведем все к одной стороне:
\[-8x^2 - 24x - 16 - 2 = 0\]
\[-8x^2 - 24x - 18 = 0\]
Разделим уравнение на \(-2\) для упрощения:
\[4x^2 + 12x + 9 = 0\]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Используем дискриминант для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[a = 4, \quad b = 12, \quad c = 9\]
Дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\]
Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения единственный корень:
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}\]
Шаг 5: Найдем значение \(y\)
Теперь подставим значение \(x = -\frac{3}{2}\) в выражение для \(y\):
\[y = -3 \left(-\frac{3}{2}\right) - 4\]
\[y = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}\]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
\[x = -\frac{3}{2}\]
\[y = \frac{1}{2}\]
