Х²+у²=20 и х³-у³-х²у+ху²=40 система

Чтобы решить систему уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 20 \) 2. \( x^3 - y^3 - x^2y + xy^2 = 40 \) Мы начнем с первого уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую. Давайте выразим \( y^2 \): ### Шаг 1: Выражение переменной Из первого уравнения: \[ y^2 = 20 - x^2 \] Теперь подставим это выражение во второе уравнение. ### Шаг 2: Подстановка второго уравнения Второе уравнение можно упростить, используя формулы разности кубов. Мы можем записать его следующим образом: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Также, \( xy^2 = y \cdot (y^2) = y(20 - x^2) \) и \( x^2y = x \cdot y^2 = x(20 - x^2) \). Теперь подставим выражение \( y^2 \): \[ x^3 - y^3 - x^2y + xy^2 = 40 \] Подставим \( y^2 = 20 - x^2 \) в уравнение: ### Шаг 3: Упрощение второго уравнения Теперь, переменные у нас будут зависеть друг от друга и мы сможем записать: \[ x^3 - y^3 - x^2y + xy(20 - x^2) = 40 \] Давайте избавимся от \( y \) во втором уравнении: ### Шаг 4: Выражение \( y \) через \( x \) Из первого уравнения \( x^2 + y^2 = 20 \), мы можем выразить \( y = \sqrt{20 - x^2} \) или \( y = -\sqrt{20 - x^2} \). Мы будем работать только с положительным значением: #### Подстановка в уравнение Теперь подставим \( y \) в \( x^3 - y^3 - x^2y + xy^2 = 40 \): \[ x^3 - (20 - x^2)^{3/2} - x^2\sqrt{20 - x^2} + x\sqrt{20 - x^2}^2 = 40 \] Это довольно сложное уравнение. Попробуем подбирать значения \( x \) и \( y \), следя за тем, чтобы они удовлетворяли обоим уравнениям. ### Шаг 5: Подбор значений Поскольку \( x^2 + y^2 = 20 \), попробуем значения \( x = 4 \) и выясним возможное значение \( y \): #### Попробуем \( x = 4 \): - Из уравнения \( y^2 = 20 - 4^2 \): \[ y^2 = 20 - 16 = 4 \implies y = 2 \text{ или } y = -2 \] ### Проверка второго уравнения: Подставим \( x = 4 \) и \( y = 2 \) во второе уравнение: \[ 4^3 - 2^3 - 4^2 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 = 64 - 8 - 32 + 16 = 40 \] Второе уравнение выполняется! ### Итог: Решения системы: 1. \( x = 4, y = 2 \) 2. \( x = 4, y = -2 \) 3. \( x = -4, y = 2 \) 4. \( x = -4, y = -2 \) Эти пары \((x, y)\) являются решениями системы уравнений.