Найди область значения функции

Чтобы найти область значений функции \( y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4x + 3} \), сначала упростим выражение, а затем исследуем его свойства. 1. **Упрощение дроби:** Рассмотрим числитель и знаменатель: \[ x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \] \[ x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) \] Таким образом, функция представляется как: \[ y = \frac{(x-2)^2}{(x-3)(x-1)} \] 2. **Нахождение нулей знаменателя:** Знаменатель обращается в ноль при \( x = 3 \) и \( x = 1 \). Эти точки не входят в область определения функции. 3. **Анализ выражения:** Мы исследуем поведение функции при \( x \to 3 \) и \( x \to 1 \). Промежутки, которые нас интересуют: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, \infty) \). 4. **Исследование на бесконечность:** Рассмотрим пределы \( y \) при \( x \to 1 \) и \( x \to 3 \): Для \( x \to 1 \), \( y \to \infty \) или \( y \to -\infty \). Для \( x \to 3 \), аналогично, \( y \to \infty \) или \( y \to -\infty \). 5. **Асимптотическое поведение:** Для больших \( |x| \), доминируют старшие члены, поэтому \( y \approx \frac{x^2}{x^2} = 1 \). Поскольку числитель и знаменатель имеют одинаковую старшую степень, у функции есть наклонная асимптота \( y = 1 \). 6. **Заключение об области значений:** Поскольку существуют точки, при которых функция стремится к бесконечности, и пересечение с асимптотой \( y = 1 \), можно сделать вывод, что функция принимает все значения \( y \in \mathbb{R} \) за исключением некоторых точек, которые стоит проверить дополнительно (например, критические значения, если возможно). Проверив более детально (графически или дополнительными анализами), можно сделать обоснованное предположение, что \( y \) принимает все значения действительных чисел кроме возможных проблемных точек на границах. Это решение и объяснение дают общее представление о поведении функции, ее асимптотах и точках разрыва.