найдите одну из первообразной функций f(x) =x^3 +5x^4
Чтобы найти первообразную (интеграл) функции \( f(x) = x^3 + 5x^4 \), мы будем интегрировать каждую часть функции по отдельности.
Шаг 1: Интегрирование каждого члена
Для первого члена \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \]
Для второго члена \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \]
Шаг 2: Сложение результатов интегрирования
Теперь добавим результаты интегрирования, которые мы получили: \[ \int f(x) \, dx = \int (x^3 + 5x^4) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^5 \]
Шаг 3: Не забудьте про константу интегрирования
Так как мы ищем одну из первообразных функции, не забудем добавить константу \( C \): \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C \]
Итого:
Прямая первообразная функции \( f(x) = x^3 + 5x^4 \) будет равна: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + x^5 + C \] где \( C \) — произвольная константа.
Таким образом, мы нашли одну из первообразных функции \( f(x) \).
