найдите одну из первообразной функций f(x) =1/√х-1/х^2

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \), давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Записываем функцию

Мы имеем: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \]

Шаг 2: Преобразуем функцию

Можно переписать каждую часть функции в виде степенных выражений:

• \( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \)
• \( \frac{1}{x^2} = x^{-2} \)

Теперь функция будет выглядеть так: \[ f(x) = x^{-1/2} - x^{-2} \]

Шаг 3: Находим первообразную

Теперь применим правило интегрирования для степенных функций. Если \( f(x) = x^n \), то \[ \int f(x) \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \text{ (где \( C \) - постоянная интегрирования) } \] при условии, что \( n \neq -1 \).

Теперь применим это правило к каждому члену функции.

1. Для первого члена \( x^{-1/2} \): \[ \int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x} \]

2. Для второго члена \( -x^{-2} \): \[ \int -x^{-2} \,dx = \frac{-x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{-x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x} \]

Шаг 4: Составляем ответ

Теперь, объединим результаты: \[ \int f(x) \,dx = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x} + C \]

Ответ

Таким образом, одна из первообразных функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \) будет: \[ F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x} + C \]

Где \( C \) — константа интегрирования.