Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} ), давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.
Шаг 1: Записываем функцию
Мы имеем:
[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}
]
Шаг 2: Преобразуем функцию
Можно переписать каждую часть функции в виде степенных выражений:
- ( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} )
- ( \frac{1}{x^2} = x^{-2} )
Теперь функция будет выглядеть так:
[
f(x) = x^{-1/2} - x^{-2}
]
Шаг 3: Находим первообразную
Теперь применим правило интегрирования для степенных функций. Если ( f(x) = x^n ), то
[
\int f(x) ,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \text{ (где ( C ) - постоянная интегрирования) }
]
при условии, что ( n \neq -1 ).
Теперь применим это правило к каждому члену функции.
Для первого члена ( x^{-1/2} ):
[
\int x^{-1/2} ,dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}
]
Для второго члена ( -x^{-2} ):
[
\int -x^{-2} ,dx = \frac{-x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{-x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}
]
Шаг 4: Составляем ответ
Теперь, объединим результаты:
[
\int f(x) ,dx = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x} + C
]
Ответ
Таким образом, одна из первообразных функции ( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} ) будет:
[
F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x} + C
]
Где ( C ) — константа интегрирования.
