Для решения данной задачи используем законы сохранения импульса и кинетической энергии, так как столкновения описаны как абсолютно упругие. Рассмотрим движения шайб перед и после столкновений.
Шаг 1: Анализ первого столкновения
Обозначим начальную скорость налетающей шайбы как ( v_0 ). После первого столкновения она отклоняется от направления движения на 30 градусов.
Импульс перед столкновением:
- Материальная точка (шайба) движется по оси ( x ) с начальной скоростью ( v_0 ).
Импульс после столкновения:
- После первого столкновения скорость шайбы можно разобрать на компоненты:
[
v_{1x} = v_0 \cos(30^\circ) = v_0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
v_{1y} = v_0 \sin(30^\circ) = v_0 \cdot \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Анализ второго столкновения
Теперь шайба движется с новой скоростью и углом:
- Угол отклонения после второго столкновения составляет 45 градусов.
Скорость шайбы теперь определяется через компоненты после первого столкновения:
- Новая скорость ( v_1 ) будет равна ( \sqrt{{v_{1x}}^2 + {v_{1y}}^2} ). Однако для упрощения будем работать с отношениями.
- Импульс после второго столкновения:
После второго столкновения скорость шайбы также разбивается на две компоненты:
[
v_{2x} = v_1 \cos(45^\circ)
]
[
v_{2y} = v_1 \sin(45^\circ)
]
Где ( v_1 ) — новая скорость после первого столкновения.
Шаг 3: Сохранение кинетической энергии
Кинетическая энергия задействованной шайбы до столкновений:
[
E_{initial} = \frac{1}{2} m v_0^2
]
Кинетическая энергия после второго столкновения:
[
E_{final} = \frac{1}{2} m (v_{2x}^2 + v_{2y}^2)
]
Так как шайбы равные и используются углы для расчетов, мы можем выразить ( E_{final} ) через ( E_{initial} ).
- Найдем общую скорость после двух столкновений:
[
E_{final} = \frac{1}{2} m \left( v_0^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + v_0^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)
]
Упрощая уравнение:
[
E_{final} = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{m v_0^2}{4}
]
Шаг 4: Вычисление уменьшения энергии
Теперь можем найти, на сколько процентов уменьшилась энергия:
[
\Delta E = E_{initial} - E_{final} = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{m v_0^2}{4} = \frac{1}{4} m v_0^2
]
Уменьшение энергии в процентах:
[
\frac{\Delta E}{E_{initial}} \cdot 100% = \frac{\frac{1}{4} m v_0^2}{\frac{1}{2} m v_0^2} \cdot 100% = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 100% = 50%
]
Ответ
Кинетическая энергия налетающей шайбы уменьшается на 50%.
