Три числа, сумма которых равна 78, образуют геометрическую прогрессию и являются также первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Найти эти числа.

Решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначим числа.
Обозначим три числа, которые образуют геометрическую прогрессию. Пусть эти числа будут \( a \), \( b \), \( c \), где \( a < b < c \).

Так как числа находятся в геометрической прогрессии, то выполняется соотношение: \[ b^2 = ac \]

Шаг 2: Условие о сумме.
Согласно условию, сумма этих чисел равна 78: \[ a + b + c = 78 \]

Шаг 3: Обозначение чисел через один параметр.
Так как числа находятся в геометрической прогрессии, можем обозначить их следующим образом: \[ a = x, \quad b = xr, \quad c = xr^2 \] где \( r \) — отношение, которое связывает эти числа. Теперь подставим это выражение в уравнение суммы: \[ x + xr + xr^2 = 78 \] Можно вынести \( x \) за скобки: \[ x(1 + r + r^2) = 78 \tag{1} \]

Шаг 4: Условие о членах арифметической прогрессии.
Пусть первый член арифметической прогрессии равен \( A \), а разность прогрессии — \( d \). Тогда:

• Первое число: \( A \)
• Третье число: \( A + 2d \)
• Девятое число: \( A + 8d \)

Из условия имеем: \[ x = A, \quad xr = A + 2d, \quad xr^2 = A + 8d \] Подставим в уравнения выражения для \( b \) и \( c \): \[ xr = A + 2d \tag{2} \] \[ xr^2 = A + 8d \tag{3} \]

Шаг 5: Выразим \( d \) через \( A \).
Из уравнения (2) выразим \( d \): \[ d = \frac{xr - A}{2} = \frac{(A + 2d) - A}{2} = \frac{xr - A}{2} \] Из уравнения (3) сделаем аналогично: \[ d = \frac{xr^2 - A}{8} = \frac{(A + 8d) - A}{8} = \frac{xr^2 - A}{8} \]

Приравняем два выражения для \( d \): \[ \frac{xr - A}{2} = \frac{xr^2 - A}{8} \] Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дробей: \[ 4(xr - A) = xr^2 - A \]

Раскроем скобки: \[ 4xr - 4A = xr^2 - A \] Переносим все в одну сторону: \[ xr^2 - 4xr + 3A = 0 \tag{4} \]

Шаг 6: Решим систему уравнений.
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (4). Подставим число \( A \) из уравнения (1) в (4).

Но, чтобы упростить, можем сразу взять \( x \), а затем решить через \( r \).

Перепишем уравнение (4) в терминах \( A \): \[ 4xr - xr^2 + 4A = 0 \]

Теперь вернемся к условию (1): \[ x(1 + r + r^2) = 78 \] Поделим \( x \) на обе стороны уравнения: \[ 1 + r + r^2 = \frac{78}{x} \]

Шаг 7: Пробуем различные значения для r.
Воспользуемся простым методом подбора для \( r \) (в идеале числа должны быть целыми). Подберем возможные значения \( r \) и найдём \( x \).

После подбора значений, например: Пусть \( r = 2 \): \[ 1 + 2 + 4 = 7 \implies x = \frac{78}{7} \approx 11.14 \quad \text{(нецелое, ошибка)} \]

Пусть \( r = 3 \): \[ 1 + 3 + 9 = 13 \implies x = \frac{78}{13} = 6 \]

Теперь подставим: \[ a = 6, \quad b = 18, \quad c = 54 \]

Проверяем:

1. Сумма: \( 6 + 18 + 54 = 78 \)
2. Соотношение: \( 18^2 = 6 \times 54 = 324 \) (все верно).

Ответ: три числа — 6, 18, и 54.