Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 90, боковые рёбра равны 51. Найдите площадь поверхности этой пирамиды
Для решения задачи о нахождении площади поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, начнем с определения необходимых компонентов и формул.
Шаг 1: Определение элементов пирамиды
Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Давайте обозначим стороны основания:
- Длина стороны основания (квадрат) \( a = 90 \) (согласно условиям задачи).
Боковые рёбра (все одинаковой длины) равны:
- \( b = 51 \).
Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды
Высота пирамиды можно найти, используя прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания будет равна:
\[ \frac{a}{2} = \frac{90}{2} = 45. \]
Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \):
\[ b^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2. \]
Подставим значения:
\[ 51^2 = h^2 + 45^2. \]
Сначала вычислим квадрат бокового ребра и квадрат половины стороны основания:
\[ 51^2 = 2601 \quad \text{и} \quad 45^2 = 2025. \]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[ 2601 = h^2 + 2025. \]
Вычтем 2025 из обеих сторон:
\[ h^2 = 2601 - 2025 = 576. \]
Теперь найдем \( h \):
\[ h = \sqrt{576} = 24. \]
Шаг 3: Нахождение площади основания
Площадь основания (квадрат) можно найти по следующей формуле:
\[ S_{основания} = a^2 = 90^2 = 8100. \]
Шаг 4: Нахождение площади боковых граней
Боковые грани пирамиды — это четыре равнобедренные треугольные фигуры. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}. \]
Основанием треугольника будет равна сторона основания \( a = 90 \), а высотой треугольника будет высота от верхушки пирамиды до середины основания, которая будет равна высоте \( h \):
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{51^2 - 45^2}. \]
Мы уже знаем, что \( h = 24 \) (это высота треугольника). Теперь подставим это значение и посчитаем площадь одного треугольника:
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 24 = 1080. \]
Площадь всех четырех боковых граней:
\[ S_{боковых\ граней} = 4 \cdot S_{треугольника} = 4 \cdot 1080 = 4320. \]
Шаг 5: Нахождение общей площади поверхности пирамиды
Теперь, чтобы узнать полную площадь поверхности пирамиды, складываем площадь основания и площадь боковых граней:
\[ S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых\ граней} = 8100 + 4320 = 12420. \]
Ответ
Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна \( 12420 \) квадратных единиц.
Обсуждение
2 сообщениякороче
Давайте упростим и сократим решение задачи.
Дано:
- Длина стороны основания \( a = 90 \)
- Длина бокового ребра \( b = 51 \)
Вычислим высоту пирамиды: Используем теорему Пифагора на треугольнике с высотой и половиной стороны основания: \[ \left(\frac{90}{2}\right)^2 + h^2 = 51^2. \] \[ 45^2 + h^2 = 51^2 \implies 2025 + h^2 = 2601 \implies h^2 = 576 \implies h = 24. \]
Площадь основания: \[ S_{\text{основания}} = a^2 = 90^2 = 8100. \]
Площадь боковых граней: Площадь одной треугольной грани: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 24 = 1080. \] Площадь всех граней: \[ S_{\text{боковых граней}} = 4 \cdot 1080 = 4320. \]
Общая площадь поверхности: \[ S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}} = 8100 + 4320 = 12420. \]
Ответ:
Площадь поверхности пирамиды равна 12420 квадратных единиц.
