Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 90, боковые рёбра равны 51. Найдите площадь поверхности этой пирамиды

Для решения задачи о нахождении площади поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, начнем с определения необходимых компонентов и формул. ### Шаг 1: Определение элементов пирамиды Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Давайте обозначим стороны основания: - Длина стороны основания (квадрат) \( a = 90 \) (согласно условиям задачи). Боковые рёбра (все одинаковой длины) равны: - \( b = 51 \). ### Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды Высота пирамиды можно найти, используя прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания будет равна: \[ \frac{a}{2} = \frac{90}{2} = 45. \] Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \): \[ b^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2. \] Подставим значения: \[ 51^2 = h^2 + 45^2. \] Сначала вычислим квадрат бокового ребра и квадрат половины стороны основания: \[ 51^2 = 2601 \quad \text{и} \quad 45^2 = 2025. \] Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ 2601 = h^2 + 2025. \] Вычтем 2025 из обеих сторон: \[ h^2 = 2601 - 2025 = 576. \] Теперь найдем \( h \): \[ h = \sqrt{576} = 24. \] ### Шаг 3: Нахождение площади основания Площадь основания (квадрат) можно найти по следующей формуле: \[ S_{основания} = a^2 = 90^2 = 8100. \] ### Шаг 4: Нахождение площади боковых граней Боковые грани пирамиды — это четыре равнобедренные треугольные фигуры. Площадь одного треугольника можно найти по формуле: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}. \] Основанием треугольника будет равна сторона основания \( a = 90 \), а высотой треугольника будет высота от верхушки пирамиды до середины основания, которая будет равна высоте \( h \): \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{51^2 - 45^2}. \] Мы уже знаем, что \( h = 24 \) (это высота треугольника). Теперь подставим это значение и посчитаем площадь одного треугольника: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 24 = 1080. \] Площадь всех четырех боковых граней: \[ S_{боковых\ граней} = 4 \cdot S_{треугольника} = 4 \cdot 1080 = 4320. \] ### Шаг 5: Нахождение общей площади поверхности пирамиды Теперь, чтобы узнать полную площадь поверхности пирамиды, складываем площадь основания и площадь боковых граней: \[ S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых\ граней} = 8100 + 4320 = 12420. \] ### Ответ Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна \( 12420 \) квадратных единиц.