3×16^x+36^x-2×81^x=0
Рассмотрим задачу:
\[ 3 \times 16^x + 36^x - 2 \times 81^x = 0. \]
Для начала, давайте упростим уравнение, выразив все числа через одну основу. Заметим, что:
- \( 16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4 \). Таким образом, \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4x} \).
- \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 2^2 \cdot 3^2 \). Поэтому \( 36^x = (2^2 \cdot 3^2)^x = 2^{2x} \cdot 3^{2x} \).
- \( 81 = 3^4 \). Это значит, что \( 81^x = (3^4)^x = 3^{4x} \).
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
\[ 3 \cdot 2^{4x} + 2^{2x} \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^{4x} = 0. \]
Теперь упростим уравнение:
\[ 3 \cdot 2^{4x} + 2^{2x} \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^{4x} = 0. \]
Теперь попробуем использовать замену переменных. Обозначим \( y = 3^{2x} \) и \( z = 2^{2x} \). Тогда \( 2^{4x} = z^2 \) и \( 3^{4x} = y^2 \).
Теперь можем переписать уравнение в терминах \( y \) и \( z \):
\[ 3z^2 + zy - 2y^2 = 0. \]
Это квадратное уравнение относительно \( z \):
\[ 3z^2 + zy - 2y^2 = 0. \]
Решим его, используя формулу для решения квадратных уравнений \( az^2 + bz + c = 0\):
- \( a = 3 \)
- \( b = y \)
- \( c = -2y^2 \)
Теперь находим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = y^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2. \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-y \pm 5y}{6}. \]
Это приводит к двум выражениям для \( z \):
- \( z_1 = \frac{4y}{6} = \frac{2y}{3} \)
- \( z_2 = \frac{-6y}{6} = -y \) (отбрасываем, так как \( z = 2^{2x} \) должно быть положительным).
Теперь подставим \( z_1 = \frac{2y}{3} \):
\[ 2^{2x} = \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3}. \]
Перепишем это уравнение:
\[ 3 \cdot 2^{2x} = 2 \cdot 3^{2x}. \]
Разделим обе стороны на \( 3 \):
\[ 2^{2x} = \frac{2}{3} \cdot 3^{2x}. \]
Поделим обе стороны на \( 2^{2x} \):
\[ 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}}. \]
Теперь выразим \( \frac{3^{2x}}{2^{2x}} \):
\[ \frac{3^{2x}}{2^{2x}} = \frac{3^{2x}}{(2^2)^x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}. \]
Тогда уравнение будет:
\[ 1 = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}. \]
Умножим обе стороны на \( \frac{3}{2} \):
\[ \frac{3}{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}. \]
Теперь это уравнение можно решить, взяв логарифмы:
Применяя логарифмы:
\[ \log \left(\frac{3}{2}\right) = 2x \log \left(\frac{3}{2}\right). \]
Так как \( \log \left(\frac{3}{2}\right) \) не равен нулю, можем делить обе стороны:
\[ 1 = 2x \implies x = \frac{1}{2}. \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x = \frac{1}{2}. \]
