Реши пример

Чтобы решить уравнение \[ \tan\left(\frac{\pi x (2x-1)}{3}\right) = \sqrt{3}, \] нам нужно найти \( x \). ### Шаг 1: Определение стандартных значений тангенса Значение \( \tan(\theta) = \sqrt{3} \) соответствует углам \( \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi \), где \( k \) — целое число, так как период тангенса равен \( \pi \). ### Шаг 2: Установление уравнения Мы знаем, что \[ \frac{\pi x (2x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi. \] Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ \pi x (2x-1) = \pi + 3k\pi. \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Упростим полученное уравнение: \[ x (2x-1) = 1 + 3k. \] Приведем к виду квадратного уравнения: \[ 2x^2 - x - (1 + 3k) = 0. \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение: \[ 2x^2 - x - (1 + 3k) = 0 \] с помощью дискриминанта \( D \), где \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(1 + 3k)). \] Упростим дискриминант: \[ D = 1 + 8(1 + 3k) = 1 + 8 + 24k = 9 + 24k. \] Теперь находим корни через формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9 + 24k}}{4}. \] ### Завершение Решение уравнения зависит от значения \( k \), и каждый корень \( x \) будет существенно отличаться в зависимости от него. Мы получаем набор решений в зависимости от \( k \), которые можно вычислить для конкретных значений \( k \).