Реши пример

Чтобы решить уравнение

\[ \tan\left(\frac{\pi x (2x-1)}{3}\right) = \sqrt{3}, \]

нам нужно найти \( x \).

Шаг 1: Определение стандартных значений тангенса

Значение \( \tan(\theta) = \sqrt{3} \) соответствует углам \( \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi \), где \( k \) — целое число, так как период тангенса равен \( \pi \).

Шаг 2: Установление уравнения

Мы знаем, что

\[ \frac{\pi x (2x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi. \]

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ \pi x (2x-1) = \pi + 3k\pi. \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим полученное уравнение:

\[ x (2x-1) = 1 + 3k. \]

Приведем к виду квадратного уравнения:

\[ 2x^2 - x - (1 + 3k) = 0. \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - x - (1 + 3k) = 0 \]

с помощью дискриминанта \( D \), где

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(1 + 3k)). \]

Упростим дискриминант:

\[ D = 1 + 8(1 + 3k) = 1 + 8 + 24k = 9 + 24k. \]

Теперь находим корни через формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9 + 24k}}{4}. \]

Завершение

Решение уравнения зависит от значения \( k \), и каждый корень \( x \) будет существенно отличаться в зависимости от него. Мы получаем набор решений в зависимости от \( k \), которые можно вычислить для конкретных значений \( k \).