Для решения задачи, зададимся следующими данными:
- Сторона ( AB = 4 )
- Сторона ( AC = 6 )
- Угол ( \angle BCA = 60^\circ )
Нам нужно найти третью сторону ( BC ) треугольника ( ABC ). Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает стороны и угол в треугольнике.
Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Где:
- ( c ) — сторона, противоположная углу ( C ) (в нашем случае ( BC ))
- ( a ) и ( b ) — стороны, заключающие угол ( C ) (в нашем случае ( AB ) и ( AC ))
- ( C ) — угол между сторонами ( a ) и ( b )
Подставим известные значения в формулу:
- ( a = AB = 4 )
- ( b = AC = 6 )
- ( C = \angle BCA = 60^\circ )
Теперь подставим в формулу:
[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)
]
Зная, что ( \cos(60^\circ) = 0.5 ), подставляем:
[
BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5
]
Посчитаем каждое выражение:
- ( 4^2 = 16 )
- ( 6^2 = 36 )
- ( 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5 = 24 )
Теперь подставим полученные значения в уравнение:
[
BC^2 = 16 + 36 - 24
]
Теперь посчитаем:
[
BC^2 = 52 - 24 = 28
]
Теперь найдём ( BC ):
[
BC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}
]
Как указано в задаче, нам нужно умножить найденную сторону на ( \sqrt{7} ):
[
BC \cdot \sqrt{7} = (2\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot 7 = 14
]
Таким образом, ответ:
[
\boxed{14}
]
