В треугольнике АБЦ известно стороны AB равно четыре отце равно шесть и угол БЦ равен 60° найдите третью сторону этого треугольника в ответе укажите найденные значение умноженное…

Для решения задачи, зададимся следующими данными:

• Сторона \( AB = 4 \)
• Сторона \( AC = 6 \)
• Угол \( \angle BCA = 60^\circ \)

Нам нужно найти третью сторону \( BC \) треугольника \( ABC \). Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает стороны и угол в треугольнике.

Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( c \) — сторона, противоположная углу \( C \) (в нашем случае \( BC \))
• \( a \) и \( b \) — стороны, заключающие угол \( C \) (в нашем случае \( AB \) и \( AC \))
• \( C \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \)

Подставим известные значения в формулу:

• \( a = AB = 4 \)
• \( b = AC = 6 \)
• \( C = \angle BCA = 60^\circ \)

Теперь подставим в формулу:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \]

Зная, что \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), подставляем:

\[ BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5 \]

Посчитаем каждое выражение:

1. \( 4^2 = 16 \)
2. \( 6^2 = 36 \)
3. \( 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5 = 24 \)

Теперь подставим полученные значения в уравнение:

\[ BC^2 = 16 + 36 - 24 \]

Теперь посчитаем:

\[ BC^2 = 52 - 24 = 28 \]

Теперь найдём \( BC \):

\[ BC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \]

Как указано в задаче, нам нужно умножить найденную сторону на \( \sqrt{7} \):

\[ BC \cdot \sqrt{7} = (2\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot 7 = 14 \]

Таким образом, ответ:

\[ \boxed{14} \]