найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=9-x², прямой x=-1 и x=2.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 9 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 2 \), нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем свою задачу поэтапно.
Шаг 1: Построение графика
Наша парабола \( y = 9 - x^2 \) открыта вниз и имеет вершину в точке \( (0, 9) \). Прямые \( x = -1 \) и \( x = 2 \) задают вертикальные границы, в пределах которых мы будем находить площадь.
Шаг 2: Найдите пересечения
Сначала видим, что нам нужны значения функции в граничных точках.
- Подставляем \( x = -1 \): \[ y = 9 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 \]
- Подставляем \( x = 2 \): \[ y = 9 - (2)^2 = 9 - 4 = 5 \]
Таким образом, мы имеем точки:
- \( (-1, 8) \)
- \( (2, 5) \)
Шаг 3: Интегрирование
Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной нашей параболой и вертикальными прямыми. Площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла от \( x = -1 \) до \( x = 2 \):
\[ S = \int_{-1}^{2} (9 - x^2) \, dx \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл:
\[ S = \int_{-1}^{2} (9 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} 9 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx \]
- Вычислим первый интеграл:
\[ \int_{-1}^{2} 9 \, dx = 9[x]_{-1}^{2} = 9(2 - (-1)) = 9 \cdot 3 = 27 \]
- Теперь вычислим второй интеграл:
\[ \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{8 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]
Шаг 5: Находим площадь
Теперь подставим результаты обратно в формулу:
\[ S = 27 - 3 = 24 \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 9 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 2 \), равна \( 24 \) квадратным единицам.
