Для решения задачи, давайте сначала запишем всю имеющуюся информацию:
- У нас есть треугольник ABC.
- Угол C равен 45°.
- Длина стороны BC (обозначим её как ( a )) равна 5 см.
- Длина стороны AC (обозначим её как ( b )) равна ( 2\sqrt{2} ) см.
- Необходимо найти длину стороны AB (обозначим её как ( c )).
Чтобы найти искомую сторону AB, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C,
]
где:
- ( C ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ),
- ( a ) и ( b ) — длины этих сторон.
Теперь подставим известные значения:
- ( a = 5 ) см,
- ( b = 2\sqrt{2} ) см,
- ( C = 45^\circ ) (значение косинуса этого угла равно ( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} )).
Подставим значения в формулу:
[
c^2 = 5^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.
]
Теперь вычислим каждое из выражений:
- ( 5^2 = 25 ),
- ( (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 ),
- ( 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20 ).
Теперь подставим эти результаты в формулу:
[
c^2 = 25 + 8 - 20.
]
Сложим и вычтем:
[
c^2 = 25 + 8 - 20 = 13.
]
Следовательно, ( c = \sqrt{13} ).
Таким образом, длина стороны AB (c) равна ( \sqrt{13} ) см.
Теперь мы можем записать конечный ответ:
Ответ: Длина стороны AB равна ( \sqrt{13} ) см.
