2 cos²x - 3 cos x + 1= 0

Давайте решим уравнение \(2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0\) пошагово и подробно. ### Шаг 1: Замена переменной В данном уравнении удобно использовать замену переменной. Пусть \(y = \cos x\). Тогда наше уравнение можно записать как: \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \] ### Шаг 2: Решение квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \(2y^2 - 3y + 1 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\). Подставляем значения в формулу: 1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] 2. Находим корни: \[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \] \[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 3: Обратно к косинусу Теперь вернемся к переменной \(x\): - Для \(y_1 = 1\): \(\cos x = 1\) Это происходит, когда: \[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Для \(y_2 = \frac{1}{2}\): \(\cos x = \frac{1}{2}\) Это происходит, когда: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Итоговый ответ Таким образом, все решения уравнения \(2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0\): 1. \(x = 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) 2. \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) 3. \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) Это и есть все значения \(x\), для которых выполняется данное уравнение.