2 cos²x - 3 cos x + 1= 0
Давайте решим уравнение \(2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0\) пошагово и подробно.
Шаг 1: Замена переменной
В данном уравнении удобно использовать замену переменной. Пусть \(y = \cos x\). Тогда наше уравнение можно записать как:
\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \(2y^2 - 3y + 1 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\).
Подставляем значения в формулу:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
- Находим корни:
\[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \] \[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Обратно к косинусу
Теперь вернемся к переменной \(x\):
- Для \(y_1 = 1\):
\(\cos x = 1\)
Это происходит, когда:
\[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
- Для \(y_2 = \frac{1}{2}\):
\(\cos x = \frac{1}{2}\)
Это происходит, когда:
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Итоговый ответ
Таким образом, все решения уравнения \(2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0\):
- \(x = 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
- \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
- \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Это и есть все значения \(x\), для которых выполняется данное уравнение.
