Чтобы решить задачу о том, сколько вариантов может выбрать тренер команду из 4 человек из 8 мальчиков (Артём, Борис и ещё 6 других), мы будем использовать комбинаторику.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть 8 мальчиков (Артём, Борис и 6 других), из которых тренер должен выбрать 4. Порядок выбора не важен, то есть команда из 4 человек (А, Б, В, Г) считается одинаковой с командой (Б, Г, А, В). Это значит, что мы используем комбинации, а не перестановки.
Шаг 2: Формула для сочетаний
Количество способов выбрать ( r ) объектов из ( n ) объектов обозначается как ( C(n, r) ) и вычисляется по формуле:
[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}
]
где:
- ( n! ) — факториал числа ( n )
- ( r! ) — факториал числа ( r )
- ( (n - r)! ) — факториал разности ( n - r )
Шаг 3: Подстановка значений в формулу
В нашей задаче ( n = 8 ) (все мальчики) и ( r = 4 ) (количество выбираемых мальчиков). Подставим значения в формулу:
[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8 - 4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
]
Шаг 4: Вычисление факториалов
Теперь вычислим факториалы:
- ( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4! ) (то есть 4! можно сократить)
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
Подставим это в формулу:
[
C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!}
]
Так как ( 4! = 24 ), мы имеем:
[
C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24}
]
Шаг 5: Вычисление финального результата
Теперь мы вычислим числитель:
- ( 8 \times 7 = 56 )
- ( 56 \times 6 = 336 )
- ( 336 \times 5 = 1680 )
Теперь подставим это в выражение:
[
C(8, 4) = \frac{1680}{24} = 70
]
Ответ
Таким образом, у тренера есть 70 различных вариантов выбрать команду из 4 человек.
