Артём и Борис занимаются в шахматной секции вместе с шестью другими мальчиками. Для участия в соревнованиях тренер отбирает команду из 4 человек. Сколько всего у тренера вариантов…

Чтобы решить задачу о том, сколько вариантов может выбрать тренер команду из 4 человек из 8 мальчиков (Артём, Борис и ещё 6 других), мы будем использовать комбинаторику.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть 8 мальчиков (Артём, Борис и 6 других), из которых тренер должен выбрать 4. Порядок выбора не важен, то есть команда из 4 человек (А, Б, В, Г) считается одинаковой с командой (Б, Г, А, В). Это значит, что мы используем комбинации, а не перестановки.

Шаг 2: Формула для сочетаний

Количество способов выбрать \( r \) объектов из \( n \) объектов обозначается как \( C(n, r) \) и вычисляется по формуле:

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} \]

где:

• \( n! \) — факториал числа \( n \)
• \( r! \) — факториал числа \( r \)
• \( (n - r)! \) — факториал разности \( n - r \)

Шаг 3: Подстановка значений в формулу

В нашей задаче \( n = 8 \) (все мальчики) и \( r = 4 \) (количество выбираемых мальчиков). Подставим значения в формулу:

\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8 - 4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь вычислим факториалы:

• \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4! \) (то есть 4! можно сократить)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

Подставим это в формулу:

\[ C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!} \]

Так как \( 4! = 24 \), мы имеем:

\[ C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} \]

Шаг 5: Вычисление финального результата

Теперь мы вычислим числитель:

• \( 8 \times 7 = 56 \)
• \( 56 \times 6 = 336 \)
• \( 336 \times 5 = 1680 \)

Теперь подставим это в выражение:

\[ C(8, 4) = \frac{1680}{24} = 70 \]

Ответ

Таким образом, у тренера есть 70 различных вариантов выбрать команду из 4 человек.