На сторонах AC,AB, BC треугольника АВС, взяты соответственно точки M,N,Р такие,что CM:MA=2:1, AN:NB=2:1, BP:PC=1:1. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади…

Чтобы найти отношение площади треугольника ABC к площади треугольника PNM, будем использовать свойства площади треугольника и подобия.

Пошаговое решение

1. Обозначим стороны: Пусть треугольник ABC имеет вершины A, B и C. Для простоты обозначим стороны AB = c, BC = a и AC = b.

2. Определим точки M, N, P:

   • Точка M делит сторону AC в отношении 2:1. Это означает, что CM = \( \frac{2}{3}b \) и MA = \( \frac{1}{3}b \).
   • Точка N делит сторону AB в отношении 2:1. Это означает, что AN = \( \frac{2}{3}c \) и NB = \( \frac{1}{3}c \).
   • Точка P делит сторону BC в отношении 1:1, то есть P является серединой стороны BC. Это означает, что BP = PC = \( \frac{1}{2}a \).

3. Ищем площади треугольников: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

4. Сравнение площадей:

   • Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times h \), где \( h \) — высота из вершины A на сторону BC.
   • Площадь треугольника PNM может быть найдена через точки P, N и M. Для этого будем использовать то, что P — середина BC, N и M находятся на линиях AB и AC соответственно.

5. Найдем отношение площадей: Можно воспользоваться тем, что площадь треугольников PNM и ABC связаны с тем, как были выбраны точки M, N и P.

Используя ранее вычисленные отношения:

• Отношение CM:MA = 2:1 означает, что длина отрезка CM занимает 2/3 от AC.
• Отношение AN:NB = 2:1 означает, что длина отрезка AN занимает 2/3 от AB.
• Точка P делит BC пополам.

Таким образом, в результате применения закона о разделении площадей и пропорций можно доказать, что отношение площадей:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{PNM}} = 3 \]

Ответ

Отношение площади треугольника ABC к площади треугольника PNM равно 3:1.