На сторонах AC,AB, BC треугольника АВС, взяты соответственно точки M,N,Р такие,что CM:MA=2:1, AN:NB=2:1, BP:PC=1:1. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника PNM.

Чтобы найти отношение площади треугольника ABC к площади треугольника PNM, будем использовать свойства площади треугольника и подобия. ### Пошаговое решение 1. **Обозначим стороны**: Пусть треугольник ABC имеет вершины A, B и C. Для простоты обозначим стороны AB = c, BC = a и AC = b. 2. **Определим точки M, N, P**: - Точка M делит сторону AC в отношении 2:1. Это означает, что CM = \( \frac{2}{3}b \) и MA = \( \frac{1}{3}b \). - Точка N делит сторону AB в отношении 2:1. Это означает, что AN = \( \frac{2}{3}c \) и NB = \( \frac{1}{3}c \). - Точка P делит сторону BC в отношении 1:1, то есть P является серединой стороны BC. Это означает, что BP = PC = \( \frac{1}{2}a \). 3. **Ищем площади треугольников**: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] 4. **Сравнение площадей**: - Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times h \), где \( h \) — высота из вершины A на сторону BC. - Площадь треугольника PNM может быть найдена через точки P, N и M. Для этого будем использовать то, что P — середина BC, N и M находятся на линиях AB и AC соответственно. 5. **Найдем отношение площадей**: Можно воспользоваться тем, что площадь треугольников PNM и ABC связаны с тем, как были выбраны точки M, N и P. Используя ранее вычисленные отношения: - Отношение CM:MA = 2:1 означает, что длина отрезка CM занимает 2/3 от AC. - Отношение AN:NB = 2:1 означает, что длина отрезка AN занимает 2/3 от AB. - Точка P делит BC пополам. Таким образом, в результате применения закона о разделении площадей и пропорций можно доказать, что отношение площадей: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{PNM}} = 3 \] ### Ответ Отношение площади треугольника ABC к площади треугольника PNM равно 3:1.