Чтобы решить задачу, сначала нам нужно найти длину дуги окружности и площадь кругового сектора.
1. Вычисление длины дуги окружности
Формула для вычисления длины дуги окружности ( L ) выглядит следующим образом:
[
L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360}
]
где:
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \alpha ) — градусная мера дуги.
Подставим известные значения:
- ( r = 4 ) см,
- ( \alpha = 72^\circ ).
Теперь подставляем значения в формулу:
[
L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{72}{360}
]
Упростим:
- Сначала упростим ( \frac{72}{360} ):
[
\frac{72}{360} = \frac{1}{5}
]
- Теперь подставим это в формулу:
[
L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8\pi}{5}
]
Теперь мы можем приблизительно оценить длину дуги, используя ( \pi \approx 3.14 ):
[
L \approx \frac{8 \cdot 3.14}{5} \approx \frac{25.12}{5} \approx 5.024 \text{ см}
]
Итак, длина дуги приблизительно равна 5.024 см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Формула для вычисления площади сектора ( S ) выглядит так:
[
S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}
]
Теперь подставляем известные значения:
[
S = \pi \cdot 4^2 \cdot \frac{72}{360}
]
Упростим:
Сначала ( 4^2 = 16 ),
Подставим в формулу:
[
S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{72}{360}
]
- Упрощаем ( \frac{72}{360} = \frac{1}{5} ):
[
S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16\pi}{5}
]
Приблизительно:
[
S \approx \frac{16 \cdot 3.14}{5} \approx \frac{50.24}{5} \approx 10.048 \text{ см}^2
]
Итак, площадь кругового сектора приблизительно равна 10.048 см².
Итог
- Длина дуги окружности: 5.024 см
- Площадь кругового сектора: 10.048 см²
