Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если её градусная мера равна 72 . Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
Чтобы решить задачу, сначала нам нужно найти длину дуги окружности и площадь кругового сектора.
1. Вычисление длины дуги окружности
Формула для вычисления длины дуги окружности \( L \) выглядит следующим образом:
\[ L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} \]
где:
- \( r \) — радиус окружности,
- \( \alpha \) — градусная мера дуги.
Подставим известные значения:
- \( r = 4 \) см,
- \( \alpha = 72^\circ \).
Теперь подставляем значения в формулу:
\[ L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{72}{360} \]
Упростим:
- Сначала упростим \( \frac{72}{360} \):
\[ \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \]
- Теперь подставим это в формулу:
\[ L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8\pi}{5} \]
Теперь мы можем приблизительно оценить длину дуги, используя \( \pi \approx 3.14 \):
\[ L \approx \frac{8 \cdot 3.14}{5} \approx \frac{25.12}{5} \approx 5.024 \text{ см} \]
Итак, длина дуги приблизительно равна 5.024 см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Формула для вычисления площади сектора \( S \) выглядит так:
\[ S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} \]
Теперь подставляем известные значения:
\[ S = \pi \cdot 4^2 \cdot \frac{72}{360} \]
Упростим:
Сначала \( 4^2 = 16 \),
Подставим в формулу:
\[ S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{72}{360} \]
- Упрощаем \( \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \):
\[ S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16\pi}{5} \]
Приблизительно:
\[ S \approx \frac{16 \cdot 3.14}{5} \approx \frac{50.24}{5} \approx 10.048 \text{ см}^2 \]
Итак, площадь кругового сектора приблизительно равна 10.048 см².
Итог
- Длина дуги окружности: 5.024 см
- Площадь кругового сектора: 10.048 см²
