Древо имеет 6 вершин степени 7 и 12 вершин степени 12. Остальные вершины имеют степень 1. Сколько этих вершин?

Для решения задачи о количестве вершин в дереве, давайте вспомним несколько ключевых понятий из теории графов.

1. Степень вершины - это количество рёбер (связей), исходящих из этой вершины.
2. Дерево - это связный граф без циклов, который имеет \( n - 1 \) рёбер, если \( n \) - количество вершин.
3. Сумма степеней вершин - в любом графе равна удвоенному количеству рёбер. То есть, если \( E \) - количество рёбер, а \( V \) - количество вершин, то: \[ \sum \text{степени} = 2E \]

Теперь предположим, что у нас есть:

• 6 вершин степени 7
• 12 вершин степени 12
• Остальные вершины имеют степень 1 и обозначим их количество как \( x \).

Шаг 1: Подсчёт рёбер

Сначала давайте посчитаем, сколько рёбер мы имеем от известных вершин.

Суммируем степени этих вершин:

• Степени первых 6 вершин: \( 6 \cdot 7 = 42 \)
• Степени 12 вершин: \( 12 \cdot 12 = 144 \)
• Степени остальных \( x \) вершин: \( 1 \cdot x = x \)

Теперь сложим все это: \[ 42 + 144 + x = 186 + x \]

Шаг 2: Находим количество рёбер

Согласно нашему знанию о деревьях, количество рёбер будет равно \( V - 1 \), где \( V \) - общее количество вершин. Общее количество вершин можно выразить как: \[ V = 6 + 12 + x = 18 + x \] Следовательно, количество рёбер: \[ E = (18 + x) - 1 = 17 + x \]

Шаг 3: Установление равенства сумм степеней и удвоенного количества рёбер

Мы знаем, что: \[ 186 + x = 2E \]

Подставим значение \( E \): \[ 186 + x = 2(17 + x) \] Раскроем скобки: \[ 186 + x = 34 + 2x \]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь упростим уравнение: \[ 186 - 34 = 2x - x \] \[ 152 = x \]

Ответ

Таким образом, количество вершин со степенью 1 равно \( x = 152 \).

Вывод

В вашем дереве 152 вершины имеют степень 1.