ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ: 1. В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нем может быть? Приведите примеры дерева для каждого возможного значения. 2. На рисунке показано дерево. Рассмотрите цепи, соединяющие начальную вершину S с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 2; длину 3; длину 4? 3. Сколько рёбер в дереве, в котором: a) 87 вершин; б) 487 вершин; в) 317 вершин 4. Изобразите какое-нибудь дерево, в котором: a) 8 вершин, 5 из них концевые; б) 10 вершин, 6 из них концевые. 5. Изобразите какое-нибудь дерево, в котором: a) 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1; б) 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. ### Задача 1: **В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нем может быть? Приведите примеры дерева для каждого возможного значения.** В дереве с n вершинами количество рёбер (дорожек) всегда равно \( n - 1 \). Концевые вершины (листья) – это вершины, которые соединены с одной вершиной (имеют степень 1). 1. **4 концевые вершины:** - В этом случае дерево выглядит как «звезда», где одна вершина соединена с тремя другими (например, A – центральная вершина, а B, C, D – концевые). ``` B | A -- C | D ``` 2. **3 концевые вершины:** - Здесь одна вершина соединена с другой, которая соединена с двумя другими. ``` B | A -- C | D ``` 3. **2 концевые вершины:** - Например, две вершины соединены с одной и образуют линейную структуру. ``` A -- B -- C ``` 4. **1 концевая вершина:** - В этом случае у нас L-образная структура. ``` A -- B | C ``` ### Задача 2: **На рисунке показано дерево. Рассмотрите цепи, соединяющие начальную вершину S с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 2; длину 3; длину 4?** Поскольку у нас нет изображения, давайте рассмотрим общее правило: - **Длина 2:** Чтобы получить цепь длиной 2, S должен соединяться с одной из промежуточных вершин, от которой ведет рёбер к конечной вершине. - **Длина 3:** Цепь длиной 3 включает 2 промежуточные вершины. - **Длина 4:** Цепь длиной 4 включает 3 промежуточные вершины. Количество путей зависит от структуры дерева. Например, если S соединён с 3 промежуточными вершинами, которые каждую соединяют с 1 конечной, у вас будет 3 пути длиной 2 и 0 путей длиной 3 или 4, и т.д. ### Задача 3: **Сколько рёбер в дереве, в котором:** - a) 87 вершин; - б) 487 вершин; - в) 317 вершин. Количество рёбер в дереве всегда на 1 меньше количества вершин: - a) \( 87 - 1 = 86 \) рёбер. - б) \( 487 - 1 = 486 \) рёбер. - в) \( 317 - 1 = 316 \) рёбер. ### Задача 4: **Изобразите какое-нибудь дерево, в котором:** - a) 8 вершин, 5 из них концевые; - б) 10 вершин, 6 из них концевые. **a)** Один из возможных вариантов: ``` A /|\ B C D | | E F ``` Здесь A - не концевой, B, C, D - концевые (по 2 рёбра от начальной). **b)** Один из возможных вариантов: ``` A /|\ B C D /| \ E F G ``` Здесь A - не концевой, B, C и D - концевые (по 2 рёбра от начальной). ### Задача 5: **Изобразите какое-нибудь дерево, в котором:** - a) 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1; - b) 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8. **a)** Дерево с 10 вершинами: ``` A /|\ B C D /| |\ E F G H ``` - A степень 3, B, C, D степень 3, E, F, G, H степень 1. **b)** Дерево с 12 вершинами: ``` A /|\ B C D | | E F | G ``` - A, B степень 4, C, D степень 3, E степень 1. Это общие способности деревьев, которые иллюстрируют, как можно соединять вершины с разными степенями и числом концевых.