ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ: 1. В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нем может быть? Приведите примеры дерева для каждого возможного значения. 2. На рисунке показано…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Задача 1:

В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нем может быть? Приведите примеры дерева для каждого возможного значения.

В дереве с n вершинами количество рёбер (дорожек) всегда равно \( n - 1 \). Концевые вершины (листья) – это вершины, которые соединены с одной вершиной (имеют степень 1).

1. 4 концевые вершины:

   • В этом случае дерево выглядит как «звезда», где одна вершина соединена с тремя другими (например, A – центральная вершина, а B, C, D – концевые).

      B
      |
      A -- C
      |
      D
   

2. 3 концевые вершины:

   • Здесь одна вершина соединена с другой, которая соединена с двумя другими.

      B
      |
      A -- C
      |
      D
   

3. 2 концевые вершины:

   • Например, две вершины соединены с одной и образуют линейную структуру.

   A -- B -- C
   

4. 1 концевая вершина:

   • В этом случае у нас L-образная структура.

   A -- B
          |
          C
   

Задача 2:

На рисунке показано дерево. Рассмотрите цепи, соединяющие начальную вершину S с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 2; длину 3; длину 4?

Поскольку у нас нет изображения, давайте рассмотрим общее правило:

• Длина 2: Чтобы получить цепь длиной 2, S должен соединяться с одной из промежуточных вершин, от которой ведет рёбер к конечной вершине.
• Длина 3: Цепь длиной 3 включает 2 промежуточные вершины.
• Длина 4: Цепь длиной 4 включает 3 промежуточные вершины.

Количество путей зависит от структуры дерева. Например, если S соединён с 3 промежуточными вершинами, которые каждую соединяют с 1 конечной, у вас будет 3 пути длиной 2 и 0 путей длиной 3 или 4, и т.д.

Задача 3:

Сколько рёбер в дереве, в котором:

• a) 87 вершин;
• б) 487 вершин;
• в) 317 вершин.

Количество рёбер в дереве всегда на 1 меньше количества вершин:

• a) \( 87 - 1 = 86 \) рёбер.
• б) \( 487 - 1 = 486 \) рёбер.
• в) \( 317 - 1 = 316 \) рёбер.

Задача 4:

Изобразите какое-нибудь дерево, в котором:

• a) 8 вершин, 5 из них концевые;
• б) 10 вершин, 6 из них концевые.

a) Один из возможных вариантов:

     A
    /|\
   B C D
   |   |
   E   F

Здесь A - не концевой, B, C, D - концевые (по 2 рёбра от начальной).

b) Один из возможных вариантов:

     A
    /|\
   B C D
  /|     \
 E F      G

Здесь A - не концевой, B, C и D - концевые (по 2 рёбра от начальной).

Задача 5:

Изобразите какое-нибудь дерево, в котором:

• a) 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1;
• b) 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8.

a) Дерево с 10 вершинами:

      A
     /|\
    B C D
   /|   |\
  E F   G H

• A степень 3, B, C, D степень 3, E, F, G, H степень 1.

b) Дерево с 12 вершинами:

     A
    /|\
   B C D
   |   |
   E   F
   |
   G

• A, B степень 4, C, D степень 3, E степень 1.

Это общие способности деревьев, которые иллюстрируют, как можно соединять вершины с разными степенями и числом концевых.