нам дана функция z= y/(x^2-y^2)^5. Найти dz/dx и dz/dy

Для нахождения частных производных функции \( z = \frac{y}{(x^2 - y^2)^5} \) по переменным \( x \) и \( y \), воспользуемся правилом производной для дробей и частными производными.

Шаг 1: Нахождение производной \(\frac{dz}{dx}\)

Сначала разбираем функцию \( z \): \[ z = \frac{y}{(x^2 - y^2)^5} \]

Для нахождения производной по \( x \) будем использовать правило производной дроби: \[ \frac{dz}{dx} = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] где:

• \( u = y \)
• \( v = (x^2 - y^2)^5 \)

Шаг 1.1: Вычисляем производные \( u' \) и \( v' \)

• \( u' = \frac{dy}{dx} \) = 0, так как \( y \) рассматривается как постоянная при частной производной по \( x \).
• Чтобы найти \( v' \), сначала найдем производную \( v \):

\[ v = (x^2 - y^2)^5 \]

Используем цепное правило: \[ v' = 5(x^2 - y^2)^4 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = 5(x^2 - y^2)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 - y^2)^4 \]

Шаг 1.2: Подставляем в формулу

Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу для \(\frac{dz}{dx}\): \[ \frac{dz}{dx} = \frac{(0 \cdot (x^2 - y^2)^5 - y \cdot 10x(x^2 - y^2)^4)}{((x^2 - y^2)^5)^2} \]

Упрощаем: \[ \frac{dz}{dx} = \frac{-10xy(x^2 - y^2)^4}{(x^2 - y^2)^{10}} = \frac{-10xy}{(x^2 - y^2)^6} \]

Шаг 2: Нахождение производной \(\frac{dz}{dy}\)

Теперь найдем частную производную \( \frac{dz}{dy} \): \[ \frac{dz}{dy} = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \]

Здесь:

• \( u = y \)
• \( v = (x^2 - y^2)^5 \)
• \( u' = 1 \), так как \( u = y \)

Теперь находим \( v' \): \[ v' = 10y (x^2 - y^2)^4(-2y)= -20y^2(x^2 - y^2)^4 \]

Теперь подставим в формулу для \(\frac{dz}{dy}\): \[ \frac{dz}{dy} = \frac{(1 \cdot (x^2 - y^2)^5 - y \cdot (-20y^2(x^2 - y^2)^4)}{((x^2 - y^2)^5)^2} \]

Упрощаем: \[ \frac{dz}{dy} = \frac{(x^2 - y^2)^5 + 20y^2(x^2 - y^2)^4}{(x^2 - y^2)^{10}} \] \[ = \frac{(x^2 - y^2)^4 \left((x^2 - y^2) + 20y^2\right)}{(x^2 - y^2)^{10}} = \frac{(x^2 - y^2 + 20y^2)}{(x^2 - y^2)^6} \]

Ответ

Таким образом, у нас получается следующая форма производных:

\[ \boxed{\frac{dz}{dx} = \frac{-10xy}{(x^2 - y^2)^6}} \]

\[ \boxed{\frac{dz}{dy} = \frac{(x^2 + 19y^2)}{(x^2 - y^2)^6}} \]

Эти результаты дают вам частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \).