постройте график y=-x²+2x+8
Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \), давайте пройдемся по шагам:
Шаг 1: Определение типа функции
Это квадратичная функция (парабола) в общей форме \( y = ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = -1 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = 8 \)
Так как \( a < 0 \), парабола открывается вниз.
Шаг 2: Находим координаты вершины параболы
Координаты вершины параболы можно найти по следующим формулам:
- \( x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} \)
- \( y_{\text{вершина}} = -\frac{D}{4a} \), где \( D = b^2 - 4ac \) — дискриминант.
Находим \( x_{\text{вершина}} \): \[ x_{\text{вершина}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]
Находим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \]
Находим \( y_{\text{вершина}} \): \[ y_{\text{вершина}} = -\frac{36}{4 \cdot (-1)} = 9 \]
Таким образом, координаты вершины: \( (1, 9) \).
Шаг 3: Находим x-пересечения
Чтобы найти корни уравнения \( y = 0 \), решим уравнение: \[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] Умножим на -1, чтобы проще было решать: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
- Находим корни: \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
Таким образом, x-пересечения: \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \).
Шаг 4: Построение графика
- Наносим вершину: точка \( (1, 9) \).
- Наносим x-пересечения: точка \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \).
- Дополнительные точки: Можно также найти y-пересечение, подставив \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8 \] Таким образом, точка \( (0, 8) \).
Теперь можно построить график, соединив точки и образуя параболу:
- Вершина \( (1, 9) \) — самая высокая точка.
- Парабола опускается к x-пересечениям \( (-2, 0) \) и \( (4, 0) \).
Шаг 5: Проверка значений
Можно выбрать дополнительные значения для \( x \), чтобы убедиться в правильности графика, например, для \( x = -1 \) и \( x = 2 \):
При \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 8 = -1 - 2 + 8 = 5 \quad \text{(точка } (-1, 5)\text{)} \]
При \( x = 2 \): \[ y = -2^2 + 2 \cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8 \quad \text{(точка } (2, 8)\text{)} \]
Заключение
Теперь у вас есть вся информация для построения графика функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \). Не забудьте отметить вершину, пересечения с осью y и дополнительные точки для более точного графика!
