Постройте график y=-x²+2x+8

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \), давайте пройдемся по шагам: ### Шаг 1: Определение типа функции Это квадратичная функция (парабола) в общей форме \( y = ax^2 + bx + c \), где: - \( a = -1 \) - \( b = 2 \) - \( c = 8 \) Так как \( a < 0 \), парабола открывается вниз. ### Шаг 2: Находим координаты вершины параболы Координаты вершины параболы можно найти по следующим формулам: - \( x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} \) - \( y_{\text{вершина}} = -\frac{D}{4a} \), где \( D = b^2 - 4ac \) — дискриминант. 1. **Находим \( x_{\text{вершина}} \)**: \[ x_{\text{вершина}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] 2. **Находим дискриминант \( D \)**: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \] 3. **Находим \( y_{\text{вершина}} \)**: \[ y_{\text{вершина}} = -\frac{36}{4 \cdot (-1)} = 9 \] Таким образом, координаты вершины: \( (1, 9) \). ### Шаг 3: Находим x-пересечения Чтобы найти корни уравнения \( y = 0 \), решим уравнение: \[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] Умножим на -1, чтобы проще было решать: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] 1. Находим корни: \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] Таким образом, x-пересечения: \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \). ### Шаг 4: Построение графика 1. **Наносим вершину**: точка \( (1, 9) \). 2. **Наносим x-пересечения**: точка \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \). 3. **Дополнительные точки**: Можно также найти y-пересечение, подставив \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8 \] Таким образом, точка \( (0, 8) \). Теперь можно построить график, соединив точки и образуя параболу: - Вершина \( (1, 9) \) — самая высокая точка. - Парабола опускается к x-пересечениям \( (-2, 0) \) и \( (4, 0) \). ### Шаг 5: Проверка значений Можно выбрать дополнительные значения для \( x \), чтобы убедиться в правильности графика, например, для \( x = -1 \) и \( x = 2 \): - При \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 8 = -1 - 2 + 8 = 5 \quad \text{(точка } (-1, 5)\text{)} \] - При \( x = 2 \): \[ y = -2^2 + 2 \cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8 \quad \text{(точка } (2, 8)\text{)} \] ### Заключение Теперь у вас есть вся информация для построения графика функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \). Не забудьте отметить вершину, пересечения с осью y и дополнительные точки для более точного графика!