Давайте решим каждую из задач по шагам.
Задача 1:
Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 1/4. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем – 4 неудачи.
Решение:
Используем формулу для вычисления вероятности конкретной последовательности событий в испытаниях Бернулли:
( P = p^k \cdot (1 - p)^{n-k} )
где:
- ( p = \frac{1}{4} ) — вероятность успеха,
- ( k ) — количество успехов,
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( (1 - p) = \frac{3}{4} ) — вероятность неудачи.
В нашем случае:
- ( k = 2 ),
- ( n = 6 ),
- ( (1 - p) = \frac{3}{4} ).
Подставляем значения:
[
P = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
Теперь считаем:
[
P = \frac{1^2}{4^2} \cdot \frac{3^4}{4^4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}
]
Ответ: Вероятность элементарного события составляет ( \frac{81}{4096} ).
Задача 2:
Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли?
Решение:
Элементарные события можно сосчитать с помощью биномиального коэффициента, который считает количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний. Формула выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Для данной задачи: ( n = 9 ), ( k = 3 ):
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}
]
Рассчитаем:
[
C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84
]
Ответ: Возможно 84 элементарных события с 3 успехами.
Задача 3:
Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету.
Решение:
Это также задача на биномиальное распределение. Формула для расчета вероятности, что произойдет ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях, звучит так:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
Где:
- ( n = 12 ),
- ( k = 7 ),
- ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность получить орла.
Подставим значения в формулу:
[
P(7; 12, \frac{1}{2}) = C(12, 7) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}
]
Первое, что найдем, это биномиальный коэффициент:
[
C(12, 7) = C(12, 5) = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792
]
Тогда:
[
P(7; 12, \frac{1}{2}) = 792 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512}
]
Ответ: Вероятность выбросить ровно 7 орлов составляет ( \frac{99}{512} ).
Задача 4:
Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.
Решение:
Сначала рассчитаем вероятность попадания от 0 до 1 раз, а затем вычтем из 1, чтобы получить вероятность попадания не менее 2 раз.
Используем формулу для биномиального распределения:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
Для ( n = 6 ) и ( p = 0.6 ):
Вероятность 0 попаданий:
[
P(0; 6, 0.6) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.4^6 = 0.4^6 = 0.004096
]
Вероятность 1 попадания:
[
P(1; 6, 0.6) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.4^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 = 0.036864
]
Теперь найдем вероятность менее 2 попаданий:
[
P(X < 2) = P(0) + P(1) = 0.004096 + 0.036864 = 0.04096
]
Выражение для вероятности не менее 2 попаданий будет:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.04096 = 0.95904
]
Ответ: Вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз, составляет приблизительно ( 0.95904 ).
Надеюсь, что данные решения помогли вам лучше понять задачи. Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
