1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p= 1/4. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем – 4…

Давайте решим каждую из задач по шагам.

Задача 1:

Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 1/4. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем – 4 неудачи.

Решение:

Используем формулу для вычисления вероятности конкретной последовательности событий в испытаниях Бернулли:

\( P = p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \)

где:

• \( p = \frac{1}{4} \) — вероятность успеха,
• \( k \) — количество успехов,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( (1 - p) = \frac{3}{4} \) — вероятность неудачи.

В нашем случае:

• \( k = 2 \),
• \( n = 6 \),
• \( (1 - p) = \frac{3}{4} \).

Подставляем значения:

\[ P = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]

Теперь считаем:

\[ P = \frac{1^2}{4^2} \cdot \frac{3^4}{4^4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096} \]

Ответ: Вероятность элементарного события составляет \( \frac{81}{4096} \).

---

Задача 2:

Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли?

Решение:

Элементарные события можно сосчитать с помощью биномиального коэффициента, который считает количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. Формула выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Для данной задачи: \( n = 9 \), \( k = 3 \):

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} \]

Рассчитаем:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84 \]

Ответ: Возможно 84 элементарных события с 3 успехами.

---

Задача 3:

Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету.

Решение:

Это также задача на биномиальное распределение. Формула для расчета вероятности, что произойдет ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, звучит так:

\[ P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( n = 12 \),
• \( k = 7 \),
• \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность получить орла.

Подставим значения в формулу:

\[ P(7; 12, \frac{1}{2}) = C(12, 7) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \]

Первое, что найдем, это биномиальный коэффициент:

\[ C(12, 7) = C(12, 5) = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \]

Тогда:

\[ P(7; 12, \frac{1}{2}) = 792 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \]

Ответ: Вероятность выбросить ровно 7 орлов составляет \( \frac{99}{512} \).

---

Задача 4:

Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

Решение:

Сначала рассчитаем вероятность попадания от 0 до 1 раз, а затем вычтем из 1, чтобы получить вероятность попадания не менее 2 раз.

Используем формулу для биномиального распределения:

\[ P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Для \( n = 6 \) и \( p = 0.6 \):

1. Вероятность 0 попаданий: \[ P(0; 6, 0.6) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.4^6 = 0.4^6 = 0.004096 \]

2. Вероятность 1 попадания: \[ P(1; 6, 0.6) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.4^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 = 0.036864 \]

Теперь найдем вероятность менее 2 попаданий:

\[ P(X < 2) = P(0) + P(1) = 0.004096 + 0.036864 = 0.04096 \]

Выражение для вероятности не менее 2 попаданий будет:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.04096 = 0.95904 \]

Ответ: Вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз, составляет приблизительно \( 0.95904 \).

---

Надеюсь, что данные решения помогли вам лучше понять задачи. Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!