Дискриминанта,корней квадратного уравнения

Давайте разберемся с дискриминантом и корнями квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет общий вид: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] где \( a, b, c \) — это коэффициенты, \( a \neq 0 \), а \( x \) — переменная.

Шаг 1: Понимание дискриминанта

Дискриминант (\( D \)) квадратного уравнения определяется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]

Шаг 2: Интерпретация дискриминанта

Дискриминант помогает определить количество и тип корней квадратного уравнения:

1. Если \( D > 0 \):

   • У уравнения два различных действительных корня.
   • Корни находятся по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

2. Если \( D = 0 \):

   • У уравнения есть один двойной корень (или два одинаковых корня).
   • Он находится по формуле: \[ x = \frac{-b}{2a} \]

3. Если \( D < 0 \):

   • У уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.
   • Они находятся по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a} \] где \( i \) — мнимая единица.

Шаг 3: Пример решения

Рассмотрим квадратное уравнение \( 2x^2 - 4x + 2 = 0 \).

1. Определим коэффициенты: \( a = 2, b = -4, c = 2 \).

2. Найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0 \]

3. Поскольку \( D = 0 \), у нас есть один двойной корень: \[ x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

Вывод

Таким образом, квадратное уравнение \( 2x^2 - 4x + 2 = 0 \) имеет один двойной корень \( x = 1 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется решение другого уравнения, не стесняйтесь спрашивать!