Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии, нам нужно использовать формулы и информацию о данной прогрессии.
Шаг 1: Определим первый член прогрессии и знаменатель
У нас есть:
- Первый член прогрессии ( b_1 = 8 )
- Знаменатель прогрессии ( q = \frac{1}{2} )
Шаг 2: Найдем первые шесть членов прогрессии
Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Теперь найдём шесть членов:
- ( b_1 = 8 )
- ( b_2 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 )
- ( b_3 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 )
- ( b_4 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1 )
- ( b_5 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 8 \cdot \frac{1}{16} = 0.5 )
- ( b_6 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 8 \cdot \frac{1}{32} = 0.25 )
Первым шестью членами прогрессии являются:
( 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25 )
Шаг 3: Найдем сумму первых шести членов
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Здесь ( n = 6 ), ( b_1 = 8 ), ( q = \frac{1}{2} ).
Подставим значения в формулу:
[
S_6 = 8 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{\frac{64 - 1}{64}}{\frac{1}{2}}
]
Сначала посчитаем:
[
S_6 = 8 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{8 \cdot 63}{32} = \frac{504}{32} = 15.75
]
Ответ:
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна ( 15.75 ).
