найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn),в которой b1 =8 и q=1/2
Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии, нам нужно использовать формулы и информацию о данной прогрессии.
Шаг 1: Определим первый член прогрессии и знаменатель
У нас есть:
- Первый член прогрессии \( b_1 = 8 \)
- Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \)
Шаг 2: Найдем первые шесть членов прогрессии
Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:
\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\]
Теперь найдём шесть членов:
- \( b_1 = 8 \)
- \( b_2 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \)
- \( b_3 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 \)
- \( b_4 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1 \)
- \( b_5 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 8 \cdot \frac{1}{16} = 0.5 \)
- \( b_6 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 8 \cdot \frac{1}{32} = 0.25 \)
Первым шестью членами прогрессии являются:
\( 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25 \)
Шаг 3: Найдем сумму первых шести членов
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
\[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
Здесь \( n = 6 \), \( b_1 = 8 \), \( q = \frac{1}{2} \).
Подставим значения в формулу: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{\frac{64 - 1}{64}}{\frac{1}{2}} \]
Сначала посчитаем: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{8 \cdot 63}{32} = \frac{504}{32} = 15.75 \]
Ответ:
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( 15.75 \).
