В треугольнике A B C : угол C равен 90 градусов, A B = 15 , A C = 12 . Найдите синус угла B .

Для решения данной задачи мы воспользуемся основными свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями.

Шаг 1: Построение треугольника

В нашем случае треугольник \(ABC\) является прямоугольным, где угол \(C\) равен \(90\) градусов. Сторона \(AB\) — это гипотенуза, а стороны \(AC\) и \(BC\) — катеты.

Шаг 2: Определение известного

Из условий задачи:

• \(AB = 15\) (гипотенуза)
• \(AC = 12\) (один из катетов)

Шаг 3: Нахождение другого катета \(BC\)

Для нахождения длины другого катета \(BC\) мы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 15^2 = 12^2 + BC^2 \] Теперь посчитаем: \[ 225 = 144 + BC^2 \] Вычтем \(144\) из обеих сторон: \[ BC^2 = 225 - 144 = 81 \] Теперь найдем \(BC\): \[ BC = \sqrt{81} = 9 \]

Шаг 4: Нахождение синуса угла \(B\)

Теперь мы можем найти синус угла \(B\). По определению синуса для угла в прямоугольном треугольнике: \[ \sin(B) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \] В нашем треугольнике \(AC\) является противоположным катетом к углу \(B\), а \(AB\) — гипотенузой: \[ \sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{15} \]

Шаг 5: Упрощение результата

Упростим дробь: \[ \sin(B) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]

Ответ

Таким образом, синус угла \(B\) равен \(\frac{4}{5}\).