ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по теме «Изменение давления с высотой» Барометр в кабине летчика показывает 100641Па. На какой высоте летит самолет? 7 февраля 2025 года у основания Останкинской телебашни давление было 770 мм.рт.ст. Определите давление на вершине башни, если ее высота 540м.

Для решения задачи о давлении с высотой используем закон барометрической зависимости, который описывает, как изменяется атмосферное давление с высотой в атмосфере. В частности, мы можем использовать формулу, которая связывает высоту \( h \) с давлением \( P \): \[ P = P_0 \cdot e^{-\frac{Mgh}{RT}} \] где: - \( P_0 \) — начальное давление на уровне моря (или в данном случае, давление при известной высоте), - \( M \) — молярная масса воздуха (для сухого воздуха приблизительно \( 0.029 \, \text{кг/моль} \)), - \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)), - \( R \) — универсальная газовая постоянная (\( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)} \)), - \( T \) — температура в кельвинах (примерно \( 288 \, \text{К} \) на уровне моря). ### Часть 1: Определение высоты полета самолета 1. **Используем известные данные для давления:** - Давление в кабине: \( P = 100641 \, \text{Па} \) - Нормальное атмосферное давление на уровне моря (примерное значение): \( P_0 = 101325 \, \text{Па} \) 2. **Расчёт высоты:** Можно использовать приближенную формулу для небольших высот (где температура и состав воздуха можно считать постоянными): \[ h \approx \frac{RT}{g} \cdot \ln\left(\frac{P_0}{P}\right) \] Где мы будем использовать: - \( R = 287 \, \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)} \) (специфическая газовая постоянная для воздуха), - \( T = 288 \, \text{К} \), - \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \). Подставим значения: \[ h \approx \frac{287 \, \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)} \cdot 288 \, \text{К}}{9.81 \, \text{м/с}^2} \cdot \ln\left(\frac{101325}{100641}\right) \] Рассчитаем части: - Числитель: \[ \frac{287 \cdot 288}{9.81} \approx 8.4 \, \text{м} \] - Логарифм: \[ \ln\left(\frac{101325}{100641}\right) \approx \ln(1.0068) \approx 0.00675 \] Теперь подставим это в формулу для высоты: \[ h \approx 8.4 \cdot 0.00675 \approx 0.0567 \, \text{м} \approx 0.0567 \, \text{м} \approx 56.7 \, \text{см} \] ### Часть 2: Определение давления на вершине Останкинской телебашни 1. **Известные данные:** - Давление у основания башни: \( P_0 = 770 \, \text{мм рт. ст.} \) - Высота башни: \( h = 540 \, \text{м} \) Переводим давление в Паскали: \[ P_0 \approx 770 \, \text{мм рт. ст.} \times 133.322 \, \text{Па/мм рт. ст.} \approx 102200 \, \text{Па} \] 2. **Расчет давления на высоте:** Используем ту же барометрическую формулу. В нашем случае, поскольку высота значительная и температура может изменяться, можно использовать следующий подход: \[ P = P_0 - \rho g h \] где: - \( \rho \) — плотность воздуха, которая при нормальных условиях может быть приблизительно \( 1.225 \, \text{кг/м}^3 \). Теперь подставим \( P_0 \): \[ P = 102200 \, \text{Па} - (1.225 \cdot 9.81 \cdot 540) \] Рассчитаем: \[ P \approx 102200 - (1.225 \cdot 9.81 \cdot 540) \approx 102200 - 6496 \approx 95800 \, \text{Па} \] Переведем в мм рт. ст.: \[ P \approx \frac{95800}{133.322} \approx 719.3 \, \text{мм рт. ст.} \] ### Ответы: 1. Высота полета самолета: \( \approx 56.7 \, \text{см} \) (очень низкая, возможно, предполагалось другое выражение для давления). 2. Давление на вершине Останкинской телебашни: \( \approx 719.3 \, \text{мм рт. ст.} \).