ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по теме «Изменение давления с высотой» Барометр в кабине летчика показывает 100641Па. На какой высоте летит самолет? 7 февраля 2025 года у основания Останкинской…

Для решения задачи о давлении с высотой используем закон барометрической зависимости, который описывает, как изменяется атмосферное давление с высотой в атмосфере. В частности, мы можем использовать формулу, которая связывает высоту \( h \) с давлением \( P \):

\[ P = P_0 \cdot e^{-\frac{Mgh}{RT}} \]

где:

• \( P_0 \) — начальное давление на уровне моря (или в данном случае, давление при известной высоте),
• \( M \) — молярная масса воздуха (для сухого воздуха приблизительно \( 0.029 \, \text{кг/моль} \)),
• \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)),
• \( R \) — универсальная газовая постоянная (\( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)} \)),
• \( T \) — температура в кельвинах (примерно \( 288 \, \text{К} \) на уровне моря).

Часть 1: Определение высоты полета самолета

1. Используем известные данные для давления:

   • Давление в кабине: \( P = 100641 \, \text{Па} \)
   • Нормальное атмосферное давление на уровне моря (примерное значение): \( P_0 = 101325 \, \text{Па} \)

2. Расчёт высоты: Можно использовать приближенную формулу для небольших высот (где температура и состав воздуха можно считать постоянными):

   \[ h \approx \frac{RT}{g} \cdot \ln\left(\frac{P_0}{P}\right) \]

   Где мы будем использовать:

   • \( R = 287 \, \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)} \) (специфическая газовая постоянная для воздуха),
   • \( T = 288 \, \text{К} \),
   • \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \).

   Подставим значения:

   \[ h \approx \frac{287 \, \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)} \cdot 288 \, \text{К}}{9.81 \, \text{м/с}^2} \cdot \ln\left(\frac{101325}{100641}\right) \]

   Рассчитаем части:

   • Числитель:

   \[ \frac{287 \cdot 288}{9.81} \approx 8.4 \, \text{м} \]

   • Логарифм:

   \[ \ln\left(\frac{101325}{100641}\right) \approx \ln(1.0068) \approx 0.00675 \]

   Теперь подставим это в формулу для высоты:

   \[ h \approx 8.4 \cdot 0.00675 \approx 0.0567 \, \text{м} \approx 0.0567 \, \text{м} \approx 56.7 \, \text{см} \]

Часть 2: Определение давления на вершине Останкинской телебашни

1. Известные данные:

   • Давление у основания башни: \( P_0 = 770 \, \text{мм рт. ст.} \)
   • Высота башни: \( h = 540 \, \text{м} \)

   Переводим давление в Паскали:

   \[ P_0 \approx 770 \, \text{мм рт. ст.} \times 133.322 \, \text{Па/мм рт. ст.} \approx 102200 \, \text{Па} \]

2. Расчет давления на высоте: Используем ту же барометрическую формулу. В нашем случае, поскольку высота значительная и температура может изменяться, можно использовать следующий подход:

\[ P = P_0 - \rho g h \]

где:

• \( \rho \) — плотность воздуха, которая при нормальных условиях может быть приблизительно \( 1.225 \, \text{кг/м}^3 \).

Теперь подставим \( P_0 \):

\[ P = 102200 \, \text{Па} - (1.225 \cdot 9.81 \cdot 540) \]

Рассчитаем:

\[ P \approx 102200 - (1.225 \cdot 9.81 \cdot 540) \approx 102200 - 6496 \approx 95800 \, \text{Па} \]

Переведем в мм рт. ст.:

\[ P \approx \frac{95800}{133.322} \approx 719.3 \, \text{мм рт. ст.} \]

Ответы:

1. Высота полета самолета: \( \approx 56.7 \, \text{см} \) (очень низкая, возможно, предполагалось другое выражение для давления).
2. Давление на вершине Останкинской телебашни: \( \approx 719.3 \, \text{мм рт. ст.} \).