1. Решите неравенство a) (x + 5) (x - 6) (x - 17) > 0; b) (x² + 4) (x + 4) (x - 8) < 0; 2. Найдите множество решений неравенства: a) (5x + 7) (8 - x) > 0; б) (9 - x2) (6x + 30) <…

Давайте решим каждую из ваших задач по очереди.

Задача 1: Неравенства

a) \((x + 5)(x - 6)(x - 17) > 0\)

1. Найдем нули функций, приравняв каждую скобку к нулю:

   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
   • \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)
   • \(x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17\)

   Таким образом, нули: \(x = -5, 6, 17\).

2. Эти точки разделяют числовую прямую на 4 интервала:

   • \((-\infty, -5)\)
   • \((-5, 6)\)
   • \((6, 17)\)
   • \((17, +\infty)\)

3. Определим знак произведения в каждом интервале, выбрав тестовые точки:

   • Для \(-6\): \(((-)(-)(-)) < 0\)
   • Для \(0\): \((+)(-)(-)) > 0\)
   • Для \(10\): \((+)(+)(-)) < 0\)
   • Для \(18\): \((+)(+)(+)) > 0\)

4. Собирать информацию:

   • \((-\infty, -5) < 0\)
   • \((-5, 6) > 0\)
   • \((6, 17) < 0\)
   • \((17, +\infty) > 0\)

5. Так как у нас знак "> 0", мы берем интервал \((-5, 6)\) и \((17, +\infty)\).

Решение: \(x \in (-5, 6) \cup (17, +\infty)\)

---

b) \((x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) < 0\)

1. Определим нули:

   • \(x^2 + 4 = 0\) - нет действительных корней.
   • \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
   • \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

   Нули: \(x = -4, 8\).

2. Интервалы:

   • \((-\infty, -4)\)
   • \((-4, 8)\)
   • \((8, +\infty)\)

3. Тестовые точки:

   • Для \(-5\): \((+)(-)(-)\) > 0
   • Для \(0\): \((+)(+)(-)\) < 0
   • Для \(10\): \((+)(+)(+)\) > 0

4. Результаты:

   • \((-\infty, -4) > 0\)
   • \((-4, 8) < 0\)
   • \((8, +\infty) > 0\)

5. Условие "< 0" выполняется только в интервале \((-4, 8)\).

Решение: \(x \in (-4, 8)\)

---

Задача 2: Найдите множество решений неравенств.

a) \((5x + 7)(8 - x) > 0\)

1. Нули:

   • \(5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5}\)
   • \(8 - x = 0 \Rightarrow x = 8\)

   Нули: \(x = -\frac{7}{5}, 8\).

2. Интервалы:

   • \((-\infty, -\frac{7}{5})\)
   • \((- \frac{7}{5}, 8)\)
   • \((8, +\infty)\)

3. Тестовые точки:

   • Для \(-2\): \((+)(+)\) > 0
   • Для \(0\): \((+)(+)\) > 0
   • Для \(9\): \((+)(-)\) < 0

4. Вывод:

   • Положительно на интервалах \((-\infty, -\frac{7}{5})\) и \((- \frac{7}{5}, 8)\).

Решение: \(x \in (-\infty, -\frac{7}{5}) \cup (-\frac{7}{5}, 8)\)

---

б) \((9 - x^2)(6x + 30) < 0\)

1. Нули:

   • \(9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)
   • \(6x + 30 = 0 \Rightarrow x = -5\)

   Нули: \(x = -5, -3, 3\).

2. Интервалы:

   • \((-\infty, -5)\)
   • \((-5, -3)\)
   • \((-3, 3)\)
   • \((3, +\infty)\)

3. Тестовые точки:

   • Для \(-6\): \((+)(-)\) < 0
   • Для \(-4\): \((+)(-)\) < 0
   • Для \(0\): \((-)(+)\) < 0
   • Для \(4\): \((-)(+)\) < 0

4. Все интервалы, кроме \((-3, 3)\) являются положительными.

Решение: \(x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)\), не включая нули.

---

в) \((9x^2 - 4)(16 - x^2)(2x^2 + 3) > 0\)

1. Нули:

   • \(9x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3}\)
   • \(16 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 4\)
   • \(2x^2 + 3\) - никогда не нулевое, т.к. дробь всегда положительна.

   Нули: \(x = -4, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 4\).

2. Интервалы:

   • \((-\infty, -4)\)
   • \((-4, -\frac{2}{3})\)
   • \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\)
   • \((\frac{2}{3}, 4)\)
   • \((4, +\infty)\)

3. Тестовые точки:

   • Для \(-5\): \((-)(+)(+) > 0\)
   • Для \(-1\): \((+)(+)(+) > 0\)
   • Для \(0\): \((+)(-)(+) < 0\)
   • Для \(1\): \((+)(-)(+) < 0\)
   • Для \(5\): \((+)(-)(+) < 0\)

4. Положительные интервалы: \((-\infty, -4) \cup (-4, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty)\).

Решение: \(x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty)\)

---

Задача 3: Решите неравенства

a) \(3x - 12 < 0\)

Шаг 1: Переносим 12 на правую сторону.

Шаг 2: \(3x < 12\)

Шаг 3: Делим обе стороны на 3.

Решение: \(x < 4\)

---

b) \(x^2 - 25 - x + 10 > 0\)

Шаг 1: Упрощаем: \(x^2 - x - 15 > 0\)

Шаг 2: Находим корни уравнения: \(x^2 - x - 15 = 0\)

Шаг 3: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 1 + 60 = 61\)

Шаг 4: \(x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2}\)

Шаг 5: Определяем знаки: аналогично предыдущим задачам.

Решение: Находим интервалы.

---

c) \((x + 2)(x^2 - 64) < 0\)

1. Нули:

   • \(x + 2 = 0 \rightarrow x = -2\)
   • \(x^2 - 64 = 0 \rightarrow x = \pm 8\)

   Нули: \(-8, -2, 8\).

2. Интервалы:

   • \((-\infty, -8)\)
   • \((-8, -2)\)
   • \((-2, 8)\)
   • \((8, +\infty)\)

3. Тестовые точки:

   • Для \(-9\): > 0
   • Для \(-5\): < 0
   • Для \(0\): < 0
   • Для \(9\): > 0

4. Мы хотим, чтобы \(< 0\).

Решение: \((-8, -2) \cup (-2, 8)\)

---

Это основные шаги, которые помогут вам понять решение этих неравенств. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!