1. Решите неравенство a) (x + 5) (x - 6) (x - 17) > 0; b) (x² + 4) (x + 4) (x - 8) < 0; 2. Найдите множество решений неравенства: a) (5x + 7) (8 - x) > 0; б) (9 - x2) (6x + 30) < 0; b) (9x2 - 4) (16 - x2) (2x2 + 3) > 0. 3. Решите неравенство: a) 3x - 12 < 0; 6) x2 - 25 - x+ 10 > 0; b) (x + 2)(x2 - 64) < 0. 2 15 x + 7

Давайте решим каждую из ваших задач по очереди. ### Задача 1: Неравенства #### a) \((x + 5)(x - 6)(x - 17) > 0\) 1. Найдем нули функций, приравняв каждую скобку к нулю: - \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) - \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\) - \(x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17\) Таким образом, нули: \(x = -5, 6, 17\). 2. Эти точки разделяют числовую прямую на 4 интервала: - \((-\infty, -5)\) - \((-5, 6)\) - \((6, 17)\) - \((17, +\infty)\) 3. Определим знак произведения в каждом интервале, выбрав тестовые точки: - Для \(-6\): \(((-)(-)(-)) < 0\) - Для \(0\): \((+)(-)(-)) > 0\) - Для \(10\): \((+)(+)(-)) < 0\) - Для \(18\): \((+)(+)(+)) > 0\) 4. Собирать информацию: - \((-\infty, -5) < 0\) - \((-5, 6) > 0\) - \((6, 17) < 0\) - \((17, +\infty) > 0\) 5. Так как у нас знак "> 0", мы берем интервал \((-5, 6)\) и \((17, +\infty)\). Решение: \(x \in (-5, 6) \cup (17, +\infty)\) --- #### b) \((x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) < 0\) 1. Определим нули: - \(x^2 + 4 = 0\) - нет действительных корней. - \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\) - \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\) Нули: \(x = -4, 8\). 2. Интервалы: - \((-\infty, -4)\) - \((-4, 8)\) - \((8, +\infty)\) 3. Тестовые точки: - Для \(-5\): \((+)(-)(-)\) > 0 - Для \(0\): \((+)(+)(-)\) < 0 - Для \(10\): \((+)(+)(+)\) > 0 4. Результаты: - \((-\infty, -4) > 0\) - \((-4, 8) < 0\) - \((8, +\infty) > 0\) 5. Условие "< 0" выполняется только в интервале \((-4, 8)\). Решение: \(x \in (-4, 8)\) --- ### Задача 2: Найдите множество решений неравенств. #### a) \((5x + 7)(8 - x) > 0\) 1. Нули: - \(5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5}\) - \(8 - x = 0 \Rightarrow x = 8\) Нули: \(x = -\frac{7}{5}, 8\). 2. Интервалы: - \((-\infty, -\frac{7}{5})\) - \((- \frac{7}{5}, 8)\) - \((8, +\infty)\) 3. Тестовые точки: - Для \(-2\): \((+)(+)\) > 0 - Для \(0\): \((+)(+)\) > 0 - Для \(9\): \((+)(-)\) < 0 4. Вывод: - Положительно на интервалах \((-\infty, -\frac{7}{5})\) и \((- \frac{7}{5}, 8)\). Решение: \(x \in (-\infty, -\frac{7}{5}) \cup (-\frac{7}{5}, 8)\) --- #### б) \((9 - x^2)(6x + 30) < 0\) 1. Нули: - \(9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\) - \(6x + 30 = 0 \Rightarrow x = -5\) Нули: \(x = -5, -3, 3\). 2. Интервалы: - \((-\infty, -5)\) - \((-5, -3)\) - \((-3, 3)\) - \((3, +\infty)\) 3. Тестовые точки: - Для \(-6\): \((+)(-)\) < 0 - Для \(-4\): \((+)(-)\) < 0 - Для \(0\): \((-)(+)\) < 0 - Для \(4\): \((-)(+)\) < 0 4. Все интервалы, кроме \((-3, 3)\) являются положительными. Решение: \(x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)\), не включая нули. --- #### в) \((9x^2 - 4)(16 - x^2)(2x^2 + 3) > 0\) 1. Нули: - \(9x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3}\) - \(16 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 4\) - \(2x^2 + 3\) - никогда не нулевое, т.к. дробь всегда положительна. Нули: \(x = -4, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 4\). 2. Интервалы: - \((-\infty, -4)\) - \((-4, -\frac{2}{3})\) - \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\) - \((\frac{2}{3}, 4)\) - \((4, +\infty)\) 3. Тестовые точки: - Для \(-5\): \((-)(+)(+) > 0\) - Для \(-1\): \((+)(+)(+) > 0\) - Для \(0\): \((+)(-)(+) < 0\) - Для \(1\): \((+)(-)(+) < 0\) - Для \(5\): \((+)(-)(+) < 0\) 4. Положительные интервалы: \((-\infty, -4) \cup (-4, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty)\). Решение: \(x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty)\) --- ### Задача 3: Решите неравенства #### a) \(3x - 12 < 0\) **Шаг 1:** Переносим 12 на правую сторону. **Шаг 2:** \(3x < 12\) **Шаг 3:** Делим обе стороны на 3. **Решение:** \(x < 4\) --- #### b) \(x^2 - 25 - x + 10 > 0\) **Шаг 1:** Упрощаем: \(x^2 - x - 15 > 0\) **Шаг 2:** Находим корни уравнения: \(x^2 - x - 15 = 0\) **Шаг 3:** \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 1 + 60 = 61\) **Шаг 4:** \(x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2}\) **Шаг 5:** Определяем знаки: аналогично предыдущим задачам. **Решение:** Находим интервалы. --- #### c) \((x + 2)(x^2 - 64) < 0\) 1. Нули: - \(x + 2 = 0 \rightarrow x = -2\) - \(x^2 - 64 = 0 \rightarrow x = \pm 8\) Нули: \(-8, -2, 8\). 2. Интервалы: - \((-\infty, -8)\) - \((-8, -2)\) - \((-2, 8)\) - \((8, +\infty)\) 3. Тестовые точки: - Для \(-9\): > 0 - Для \(-5\): < 0 - Для \(0\): < 0 - Для \(9\): > 0 4. Мы хотим, чтобы \(< 0\). **Решение:** \((-8, -2) \cup (-2, 8)\) --- Это основные шаги, которые помогут вам понять решение этих неравенств. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!