Чтобы определить тип угла между двумя векторами, нужно воспользоваться формулой для нахождения скалярного произведения векторов:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где:
- (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) — это векторы,
- (\theta) — угол между векторами.
Вектор (\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 7 \ -2 \end{pmatrix}) и вектор (\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix}).
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
]
Где (a_1) и (a_2) — координаты вектора (\mathbf{a}), а (b_1) и (b_2) — координаты вектора (\mathbf{b}).
Подставляем значения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-4) = -14 + 8 = -6
]
Шаг 2: Найдем длины (модули) векторов
Длина вектора (\mathbf{a}) вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
]
Подставляем координаты (\mathbf{a}):
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
]
Теперь находим длину вектора (\mathbf{b}):
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}
]
Подставляем координаты (\mathbf{b}):
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
]
Шаг 3: Используем формулу для нахождения косинуса угла
Теперь подставим найденные значения в формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
Подставляем:
[
\cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{53} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-6}{2\sqrt{265}} = \frac{-3}{\sqrt{265}}
]
Шаг 4: Определение угла
Так как (\cos(\theta)) отрицательный, это означает, что угол (\theta) является тупым (больше 90° и меньше 180°).
Вывод
Угол между векторами ((7, -2)) и ((-2, -4)) является тупым.
