Определи тип угла между векторами с координатами { 7 ; − 2 } {7;−2} и { − 2 ; − 4 } {−2;−4} .
Чтобы определить тип угла между двумя векторами, нужно воспользоваться формулой для нахождения скалярного произведения векторов:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]
где:
- \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) — это векторы,
- \(\theta\) — угол между векторами.
Вектор \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix}\) и вектор \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}\).
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
Где \(a_1\) и \(a_2\) — координаты вектора \(\mathbf{a}\), а \(b_1\) и \(b_2\) — координаты вектора \(\mathbf{b}\).
Подставляем значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-4) = -14 + 8 = -6 \]
Шаг 2: Найдем длины (модули) векторов
Длина вектора \(\mathbf{a}\) вычисляется по формуле:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]
Подставляем координаты \(\mathbf{a}\):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \]
Теперь находим длину вектора \(\mathbf{b}\):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \]
Подставляем координаты \(\mathbf{b}\):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Шаг 3: Используем формулу для нахождения косинуса угла
Теперь подставим найденные значения в формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
Подставляем:
\[ \cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{53} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-6}{2\sqrt{265}} = \frac{-3}{\sqrt{265}} \]
Шаг 4: Определение угла
Так как \(\cos(\theta)\) отрицательный, это означает, что угол \(\theta\) является тупым (больше 90° и меньше 180°).
Вывод
Угол между векторами \((7, -2)\) и \((-2, -4)\) является тупым.
