На столе лежит стопка из 20 тетрадей. Сколькими способами можно положить стопку с тетрадями так, чтобы 12 из них были обложкой вверх?
Чтобы решить задачу, нужно определить, сколько способов можно выбрать 12 тетрадей из 20 и уложить их обложкой вверх, а остальные 8 тетрадей — обложкой вниз.
- Выбор тетрадей: Мы можем выбрать 12 тетрадей из 20. Количество способов выбрать 12 тетрадей из 20 можно вычислить с использованием биномиального коэффициента:
\[ \binom{20}{12} = \frac{20!}{12! \cdot (20 - 12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!} \]
Эта формула считает количество способов выбрать 12 элементов из 20.
- Расположение: Поскольку мы указываем обложку вверх или вниз конкретным тетрадям, мы не учитываем дополнительные перестановки, так как мы просто выбираем, какие тетради будут вверх.
Теперь рассчитаем количество способов:
\[ \binom{20}{12} = \binom{20}{8} \]
(Это справедливо, так как \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). Итак,
\[ \binom{20}{8} = \frac{20!}{8! \cdot 12!} \]
- Вычисление:
\[ \binom{20}{8} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
Теперь давайте рассчитаем это:
\[ = \frac{125970}{40320} = 125970 \]
Таким образом, количество способов положить стопку с тетрадями так, чтобы 12 из них были обложкой вверх, равно 125970.
