Для решения задачи можно использовать формулу для биномиального распределения. Вероятность того, что биатлонист попадет в мишень ровно ( k ) раз в ( n ) выстрелов можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p ) — вероятность попадания (в данном случае 0,6)
- ( n ) — общее количество выстрелов (5)
- ( k ) — количество попаданий (3)
Теперь подставим данные в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(5, 3) ):
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
]
- Вычислим ( p^k = 0,6^3 ):
[
0,6^3 = 0,216
]
- Вычислим ( (1-p)^{n-k} = 0,4^{5-3} = 0,4^2 ):
[
0,4^2 = 0,16
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,6^3) \cdot (0,4^2) = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16
]
Теперь произведем вычисления:
[
10 \cdot 0,216 = 2,16
]
[
2,16 \cdot 0,16 = 0,3456
]
Таким образом, вероятность того, что биатлонист попал ровно 3 раза в мишень, равна ( 0,3456 ).
Округляя до сотых, получаем:
[
\text{Ответ: } 0,35
]
