Решим задачу, используя принцип включения-исключения.
Дадим обозначения:
- ( A ) — множество студентов, занимающихся искусством.
- ( B ) — множество студентов, участвующих в научных проектах.
- ( C ) — множество студентов, занимающихся спортом.
Данные:
- ( |A| = 12 )
- ( |B| = 10 )
- ( |C| = 8 )
- ( |A \cap B| = 4 ) — студенты, занимающиеся искусством и наукой.
- ( |B \cap C| = 3 ) — студенты, занимающиеся наукой и спортом.
- ( |A \cap C| = 2 ) — студенты, занимающиеся искусством и спортом.
- ( |A \cap B \cap C| = 1 ) — студенты, занимающиеся всеми тремя видами деятельности.
Теперь применим формулу для подсчета общего количества студентов, занимающихся хотя бы одним из этих видов деятельности, используя принцип включения-исключения:
[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|
]
Подставим значения:
[
|A \cup B \cup C| = 12 + 10 + 8 - 4 - 3 - 2 + 1
]
Теперь просчитаем это пошагово:
- ( 12 + 10 + 8 = 30 )
- ( 30 - 4 = 26 )
- ( 26 - 3 = 23 )
- ( 23 - 2 = 21 )
- ( 21 + 1 = 22 )
Таким образом, ( |A \cup B \cup C| = 22 ) — количество студентов, занимающихся хотя бы одним из видов деятельности.
Теперь найдем количество студентов, которые не занимаются ни искусством, ни научными проектами, ни спортом. Для этого вычтем количество студентов, занимающихся хотя бы одним из этих видов деятельности, из общего количества студентов в группе:
[
\text{Количество студентов, не занимающихся ни одним видом деятельности} = \text{Общее количество студентов} - |A \cup B \cup C| = 25 - 22 = 3
]
Итак, количество студентов, которые не занимаются ни искусством, ни научными проектами, ни спортом, равно 3.
